Perspectives pour une théorie effective des groupes

Perspectives on an effective theory of groups

• Auteur / Autrice : Emmanuel Rauzy
• Direction : Andrzej Zuk
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Delaram Kahrobaei
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Delaram Kahrobaei, Vincent Guirardel, Henry Wilton, Mathieu Hoyrup, Laura Ciobanu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Guirardel, Henry Wilton

Mots clés

Mots clés contrôlés

Représentations de groupes

Extensions HNN

Théorie des groupes

Fonctions calculables

Mots clés libres

Calculabilité

Espace des groupes marqués

Théorème de plongement de Higman

Groupes de présentation finie

Computability theory

Space of marked groups

Higman’s embedding theorem

Finite presenta- tions of groups

Résumé

Cette thèse rassemble les résultats obtenus dans quatre articles achevés entre 2020 et 2021 qui portent sur la théorie de la calculabilité sur les groupes. Y est d'abord décrite une nouvelle approche pour l'étude des problèmes de calculabilité portant sur des groupes qui ne sont pas nécessairement de présentation finie. Cette approche repose principalement sur deux idées. Tout d'abord, l'idée que les présentations récursives ne sont pas des descriptions de groupes suffisamment puissantes pour servir comme base à une théorie des problèmes de décisions qui soit intéressante, idée justifiée par l'obtention des théorèmes de Rice et de Rice-Shapiro pour les groupes donnés par des présentations récursives. La deuxième remarque fondamentale sur laquelle est basée notre approche est la description d'une caractérisation algorithmique des groupes de présentation finie. Cette caractérisation prouve que les descriptions de groupes obtenues en termes d'algorithmes ne sont pas nécessairement des descriptions plus faibles que les autres, puisque la donnée d'une présentation finie peut aussi bien être vue comme la donnée d'algorithmes. On donne différentes directions de recherches qui suivent de ces remarques préliminaires. Le deuxième axe de cette thèse est l'étude des groupes dont les quotients finis peuvent être énumérés. La caractérisation algorithmique des groupes de présentation finie nous montre que cette famille de groupes constitue une généralisation algorithmique naturelle de la famille des groupes de présentation finie. On montre d'abord que la propriété d'avoir les quotients énumérables est indépendante, pour les groupes résiduellement finis, de la propriété d'avoir le problème du mot résoluble. On donne des exemples de groupes bien connus dont les quotients finis peuvent être énumérés. On utilise finalement l'étude des énumérations de quotients finis pour donner un groupe résiduellement fini, avec le problème du mot résoluble, qui ne peut pas se plonger dans un groupe résiduellement fini de présentation finie, répondant ainsi à une question due à Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov et Mark Sapir. Le dernier axe de cette thèse est l'étude des propriétés de groupes qui sont décidables à partir d'algorithmes donnant la solution au problème du mot. On relie ce problème à la théorie de l'analyse calculable, il correspond exactement à l'étude de l'analyse calculable markovienne sur l'espace topologique des groupes marqués. On montre que l'espace des groupes marqués est un espace polonais qui n'est pas un espace polonais effectif. Il constitue le premier exemple d'un tel espace qui soit un exemple naturel, c'est-à-dire qui ne soit pas un espace introduit uniquement pour ses mauvaises propriétés algorithmiques. Le principal problème ouvert dans la théorie de l'analyse calculable sur les groupes est le problème de la continuité: est-il vrai que toute fonction calculable définie sur l'espace des groupes marqués y est continue?

In this thesis, we present results about the theory of decision problems for groups that were obtained in four articles submitted between 2020 and 2021. We describe a new approach to the theory of decision problems for infinitely presented groups, which relies on an algorithmic characterization of finitely presented groups, and on the remark that recursive presentations are descriptions that are too weak to be the basis of an interesting theory, remark justified by a Rice Theorem for recursively presented groups. We then study residually finite groups whose finite quotients can be effectively enumerated, as this class of groups constitutes a particular algorithmic generalization of the class of finitely presented groups. We relate this to the search of a Higman Embedding Theorem for residually finite groups, we give necessary conditions for a group to embed in a finitely presented residually finite group that are more restrictive than previously known conditions, answering a question of Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov and Mark Sapir. Finally, we study decision problems for groups described by word problem algorithms, and show that this corresponds to the study of Markovian computable analysis on the space of marked groups. We provide the first systematical method to build, given a group property that satisfies some appropriate conditions, a finitely presented group with solvable word problem in which the finitely generated subgroups that satisfy the chosen property cannot be recognized. We also prove that the space of marked groups is a Polish space, but not an effective Polish space, it constitutes the first natural example of such a set. Because of this, none of the results of computable analysis that serve to prove that computable functions are continuous can be applied to the space of marked groups. We thus ask whether all computable functions defined on the space of marked groups must be continuous. The link between this problem and the theory of Kolmogorov complexity is made explicit.