Asymptotiques à temps long de fluctuations anormales pour des processus de renouvellement-récompense à queue lourde

Large-time asymptotics of anomalous fluctuations in heavy-tailed renewal-reward processes

• Auteur / Autrice : Hiroshi Horii
• Direction : Raphaël Lefévère, Takahiro Nemoto
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/07/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Cédric Bernardin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Cédric Bernardin, Mauro Mariani, Raphaël Chetrite, Sandrine Péché
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mauro Mariani, Raphaël Chetrite

Mots clés

Mots clés contrôlés

Principes variationnels

Distribution (théorie des probabilités)

Renouvellement, Théorie du

Grandes déviations

Mots clés libres

Théorie des grandes déviations

Processus de renouvellement-récompense (marche aléatoire en temps continu)

Distribution du temps d'attente à queue lourde

Transition de phase dynamique

Modèle de gaz de Knudsen

Principe variationnel pour LDF

Echelonnement anormal des cumulants

Large deviation theory

Renewal-reward process (continuous-time random walk)

Heavy-tailed waiting time distribution

Dynamical phase transition

Knudsen gas model

Variational principle for LDF

Anomalous scaling of cumulants

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions principalement le comportement en temps fini des fluctuations anormales dans les processus de renouvellement-récompense à queue lourde. Une distribution à queue lourde produit plus d'événements rares qu'une distribution exponentielle dans un système. En général, la queue des distributions de probabilité est liée à un événement rare et a un faible impact sur l'ensemble du système. Cependant, lorsque les distributions de probabilité sont à queue lourde, cette idée ne fonctionne pas. Par exemple, sur le marché financier, l'effondrement ou le choc du marché est un événement rare à la suite d'une distribution à queue lourde. Dans la propagation des maladies infectieuses, un super-épandeur est un événement rare dans le système, dont l'occurrence est également distribuée par une distribution à queue lourde. De plus, le comportement du processus stochastique contient des fluctuations anormales à cause des effets de mémoire. Dans cette thèse, nous étudions le comportement anormal des processus de récompense de renouvellement à queue lourde en utilisant le principe de grande déviation (LDP), le principe variationnel et une équation de renouvellement. Dans cette thèse, nous présentons d'abord le contexte de nos recherches au chapitre 2. Dans le chapitre 3, nous donnons la preuve de l'asymptotique en temps long d'une fonction génératrice de moment (ou fonction génératrice de cumulant) dans un processus de renouvellement-récompense à queue lourde. Cette fonction génératrice de moment a sa singularité dans la plage spécifique du champ de polarisation. Nous avons clarifié le comportement de la partie singularité dans une plage de temps finie. De plus, nous avons analysé la fonction de taux de temps fini en utilisant la simulation numérique. La survenue de nombreux événements rares affecte la loi de convergence de LDF et la fonction génératrice de moment se comporte comme une loi de puissance dans la partie affine. Dans le chapitre 4, nous redérivons une partie affine dans les fonctions génératrices cumulantes (CGF) en utilisant un principe variationnel développé en théorie des grandes déviations. Ce principe variationnel a été appliqué pour étudier une singularité apparaissant dans le LDF dans, entre autres, des modèles à contraintes cinétiques (KCM) et des matières actives. Ces modèles sont définis à l'aide de processus de Markov, à cause desquels le LDF des quantités moyennées dans le temps n'a pas de singularité chaque fois que la taille du système (non le temps de moyenne) est finie. Nous nous concentrons sur la façon dont la même méthodologie peut être étendue à notre problème non-markovien pour dériver la partie affine. Dans le chapitre 5, nous avons d'abord étudié un processus de comptage avec deux distributions de temps d'attente à queue lourde : la distribution de Pareto (l'exposant de la loi de puissance est -3) avec et la distribution de Rayleigh inverse. Ces deux distributions de temps d'attente ont une forme asymptotique dont l'exposant de la loi de puissance est -3 lorsque le temps d'attente est grand, ce qui implique que la variance du temps d'attente diverge. En raison de cette divergence, nous avons discuté du fait que la variance mise à l'échelle du processus de comptage diverge également dans la grande limite de temps. Nous avons en effet déduit que la variance mise à l'échelle est asymptotiquement proportionnelle à log(t), divergeant lorsque le temps tend vers l'infini. Deuxièmement, comme pour la conclusion d'un processus de comptage, nous avons clarifié le comportement asymptotique de la variance du courant moyenné dans le temps. Ce temps entre les arrivées suit la distribution de Rayleigh inverse, nous pouvons donc obtenir que la variance mise à l'échelle est asymptotiquement proportionnelle à log(t), divergeant lorsque le temps va vers l'infini. L'effet mémoire d'un processus stochastique est lié à la divergence anormale des moments.

In this thesis, we mainly study the finite-time behavior of anomalous fluctuations in heavy-tailed renewal-reward processes. A heavy-tailed distribution produces rare events more than an exponential distribution in a system. In general, the tail of probability distributions is related to a rare event and has a small impact on the entire system. However, when probability distributions are heavy-tailed, this insight does not work. For instance, in the financial market, the melt-up or shock of the market is a rare event following a heavy-tailed distribution. In infectious disease spreading, a super spreader is a rare event in the system, whose occurrence is also distributed by a heavy-tailed distribution. This random phenomenon can be explained using a heavy-tailed renewal-reward process and by constructing the model, we can estimate the expected value and the fluctuations of the interested stochastic process. In addition, the behavior of the stochastic process contains anomalous fluctuations because of memory effects. In this thesis, we study the anomalous behavior of heavy-tailed renewal reward processes using the large deviation principle (LDP), variational principle, and a renewal equation. In this thesis, we first introduce the background of our research in chapter 2. Our main results are described in chapter 3, chapter 4, and chapter 5. In chapter 3, we give proof for the large-time asymptotics of a moment generating function (or cumulant generating function) in a heavy-tailed renewal-reward process. That moment generating function has the singularity within the specific range of biasing field. We have clarified the behavior of the singularity part in a finite-time range. In addition, we have analyzed the finite time rate function using numerical simulation. The behavior of probability is no longer an exponential function within the affine part. This is because a heavy-tailed waiting time distribution produces a lot of moving slow particles. Occurring a lot of rare events affects the convergence law of LDF and the moment generating function behaves as a power-law within the affine part. In chapter 4, we re-derive an affine part in cumulant generating functions (CGFs) by using a variational principle developed in large deviation theory. This variational principle has been applied to study a singularity appearing in the LDF in, among others, kinetically constrained models (KCM) and active matters. These models are defined using Markov processes, because of which the LDF of time-averaged quantities does not have any singularity whenever the system size (not the averaging time) is finite. Our focus is on how the same methodology can be extended to our non-Markovian problem to derive the affine part. In chapter 5, first, we have studied a counting process with two heavy-tailed waiting time distributions: the Pareto distribution (exponent of power-law is -3) and the inverse Rayleigh distribution. These two waiting time distributions have an asymptotic form exponent of the power-law is -3 when the waiting time is large, implying that the variance of the waiting time diverges. Because of this divergence, we discussed that the scaled variance of the counting process also diverges in the large time limit. We indeed derived that the scaled variance is asymptotically proportional with log(t), diverging as time goes to infinity. Second, as with the conclusion of a counting process, we have clarified the asymptotic behavior of the variance of the time-averaged current. That inter-arrival time follows the inverse Rayleigh distribution, so we can obtain the scaled variance is asymptotically proportional with log(t), diverging as time goes to infinity. The memory effect of a stochastic process is related to the anomalous divergence of moments.