Méthodes de contrôle stochastique appliquées à la construction de portefeuille, au contrôle avec retard et à la résolution d'EDPs

Stochastic control methods applied to portfolio construction, control with delay and PDE solving

• Auteur / Autrice : William Lefebvre
• Direction : Huyên Pham
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Agnès Sulem
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Agnès Sulem, Xiaolu Tan, Ruimeng Hu, Carmine De Franco, Julien Guyon, Grégoire Loeper
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Xiaolu Tan, Ruimeng Hu

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie moderne du portefeuille

Apprentissage profond

Riccati, Équation de

Gestion de portefeuille

Mots clés libres

Problème de portefeuille moyenne-Variance en temps continu

Allocation robuste

Paramètres mal spécifiés

Contrôle stochastique linéaire quadratique

EDP de Riccati

Portefeuille de Markowitz

EDP non linéaires

Apprentissage profond

Apprentissage différentiel

Valorisation d'option avec impact sur le marché

Continuous-Time mean-Variance problem

Robustified allocation

Parameter misspecification

Linear-Quadratic stochastic control

Riccati PDEs

Markowitz portfolio allocation

Fully nonlinear PDEs

Deep learning

Differential learning

Option pricing with market impact

Résumé

La présente thèse porte sur les méthodes de contrôle stochastique appliquées à la résolution de problèmes survenant dans le domaine de la finance quantitative, tels que la sélection de portefeuille et la résolution d'EDP non linéaires associées à la construction de stratégies d'investissement et à l'évaluation de produits dérivés. Elle est divisée en trois parties. Dans la première partie, nous résolvons un problème de sélection de portefeuille de type moyenne-variance où le portefeuille est pénalisé par une distance entre la richesse investie dans chacun de ses actifs et la composition d'un portefeuille de référence à poids fixe. Les formules analytiques du contrôle optimal et de la fonction valeur sont obtenues et un analogue de la formule de frontière efficiente est obtenu dans la limite où la pénalisation tend vers zéro. La robustesse de cette allocation est testée sur des prix de marché simulés dans le cas où les paramètres de diffusion sont mal spécifiés. La deuxième partie traite du contrôle d'équations différentielles stochastiques avec retard. Nous résolvons un problème de contrôle stochastique linéaire quadratique simple où le contrôle apparaît à la fois dans la partie "drift" et dans la partie diffusion de l'EDS de l'état et est affecté par un retard. Les expressions analytiques du contrôle optimal et de la fonction valeur sont obtenues en termes de solution d'un système d'EDP de Riccati couplées pour lesquelles l'existence et l'unicité d'une solution sont prouvées, à condition qu'une hypothèse, combinant l'horizon temporel, le retard, le "drift" et la volatilité de l'EDS de l'état, soit satisfaite. Une méthode d'apprentissage profond est utilisée pour résoudre le système d'EDP de Riccati dans le contexte de la sélection de portefeuille de Markovitz avec délai d'exécution. Dans la troisième partie, trois méthodes basées sur l'apprentissage profond sont définies afin de résoudre des EDP entièrement non linéaires avec un hamiltonien convexe. Ces méthodes utilisent la représentation stochastique de l'EDP, dont le contrôle optimal est approximé numériquement, afin d'obtenir trois estimateurs différents de la solution de l'EDP basés sur les versions régressive ou trajectorielle de la représentation martingale et de sa dérivée. La solution et ses dérivées sont ensuite calculées simultanément. Nous exploitons ensuite nos méthodes pour concevoir des algorithmes permettant de résoudre des familles d'EDP avec une condition terminale paramétrique au moyen de réseaux de neurones DeepOnet.

The present thesis deals with stochastic control methods applied to the resolution of problems arising in the field of quantitative finance, such as portfolio selection and resolution of non linear PDEs associated to the construction of investment strategies and the pricing of derivative products. It is divided into three parts. In the first part, we solve a mean variance portfolio selection problem where the portfolio is penalized by a distance between the wealth invested in each of its assets and the composition of a reference portfolio with fixed weights. The optimal control and value function are obtained in closed form and an analogue of the efficient frontier formula is obtained in the limit where the penalisation tends to zero. The robustness of this allocation is tested on simulated market prices with parameter misspecification. The second part deals with the delayed control of stochastic differential equations. We solve a simple linear quadratic stochastic control problem where the control appears both in the drift and diffusion part of the state SDE and is affected by a delay. The expressions of the optimal control and value function are obtained in terms of the solution of a system of coupled Riccati PDEs for which the existence and uniqueness of a solution is proven, provided that a condition, combining the time horizon, the delay, the drift and the volatility of the state SDE is satisfied. A deep learning method is used to solve the system Riccati PDEs in the context of Markovitz portfolio selection with execution delay. In the third part, three methods based on deep learning are defined in order to solve fully non linear PDEs with convex Hamiltonian. These methods use the stochastic representation form of the PDE, whose optimal control is approximated numerically, in order to obtain three different estimators of the PDE solution based on regression or pathwise versions of the martingale representation and its differential relation. The solution and its derivatives are then computed simultaneously. We further leverage our methods to design algorithms for solving families of PDEs with parametric terminal condition by means of DeepOnet neural networks.