Nouvelles perspectives sur les problèmes inverses : stratégies multidimensionnelles pour la déconvolution ou la régression et estimation de la probabilité de ruine

New insights on inverse problems : multidimensional strategies for deconvolution or regression, and ruin probability estimation

• Auteur / Autrice : Florian Dussap
• Direction : Fabienne Comte, Céline Duval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 24/06/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5
• Jury : Président / Présidente : Christophe Giraud
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabienne Comte, Céline Duval, Christophe Giraud, Vincent Rivoirard, Jérôme Saracco, Florence Merlevède, Oleg V. Lepski, Béatrice Laurent
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Rivoirard, Jérôme Saracco

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Estimation de paramètres

Mots clés libres

Estimation non paramétrique

Sélection de modèle

Base de Laguerre

Base d'Hermite

Déconvolution

Régression

Théorie de la ruine

Nonparametric estimation

Model selection

Laguerre basis

Hermite basis

Deconvolution

Regression

Ruin theory

Résumé

Dans cette thèse, on s'intéresse à trois problèmes inverses de statistique non paramétrique. Nous étudions l'estimation de fonctions à plusieurs variables sur des domaines non compacts : R^d et R_+^d. Nous utilisons pour cela des estimateurs par projection sur des bases orthonormées obtenues en tensorisant la base d'Hermite (cas de R^d) et la base de Laguerre (cas de R_+^d). Ces bases sont construites à partir de polynômes orthogonaux et ont la particularité d'être à support non compact. Cela évite la question du choix du support qui se pose avec les bases dont le support est un intervalle [a, b] par exemple. Pour garantir que nos estimateurs aient de bonnes performances, la dimension de l'espace de projection nécessite d'être choisie. Nous utilisons pour cela deux procédures : la sélection de modèle par pénalisation et la méthode de Goldenshluger et Lepski. Ces procédures nous permettent de construire des estimateurs adaptatifs relativement aux espaces de régularité associés aux bases utilisées : les espaces de Sobolev-Laguerre et les espaces de Sobolev-Hermite. Le premier problème étudié est celui de la déconvolution d'une densité sur R_+^d, c'est-à-dire le problème de l'estimation d'une densité sur R_+^d à partir d'observations buités. Le deuxième problème est celui de l'estimation de la fonction de Gerber-Shiu dans le modèle de Cramér-Lundberg. Ce modèle modélise l'évolution des réserves financières d'une compagnie d'assurance et la fonction de Gerber-Shiu est une quantité liée au risque de faillite de la compagnie. Son estimation nécessite la résolution d'un problème de déconvolution sur R_+. Enfin, le troisième problème est celui de la régression non paramétrique avec un design aléatoire. Dans ce problème, on observe des paires (X, Y) qui satisfont Y = b(X) + erreur, l'objectif étant de reconstruire la fonction b. Notre contribution est de considérer des domaines d'estimation non compacts de R^p et d'étudier théoriquement le risque de l'estimateur pondéré par la loi du design. On propose une procédure de sélection de modèle dans laquelle la collection de modèles est aléatoire et prend en compte l'écart entre la norme empirique et la norme associée à la loi du design.

In this thesis, we are interested in three inverse problems in nonparametric statistics. We study the estimation of functions of several variables on non-compact domains: R^d and R_+^d. We use projection estimators on orthonormal bases constructed by tensorization of the Hermite basis (in the case of R^d) and the Laguerre basis (in the case of R_+^d). These two bases are formed from orthogonal polynomials, and they have the property of being non-compactly supported. This avoids issues regarding the choice of the support, that one encounters with bases supported on an interval [a, b] for example. In order to ensure that our estimators perform well, the dimension of the projection space must be carefully chosen. We use two procedures: the penalized model selection procedure and the Goldenshluger and Lepski's procedure. These procedures allow us to construct adaptive estimators on regularity spaces associated to the used bases: the Sobolev-Laguerre spaces and the Sobolev-Hermite spaces. The first problem we study is the deconvolution of a density on R_+^d, that is, the problem of estimating a density on R_+^d from noisy observations. The second problem is the estimation of the Gerber-Shiu function in the Cramér-Lundberg risk model. The model describes the evolution of the financial reserve of an insurance company, and the Gerber-Shiu function is a quantity associated to the company risk of ruin. The last problem is the nonparametric regression with a random design. In this problem, we observe pairs (X, Y) satisfying Y = b(X) + error, and we want to recover the function b. Our contribution is to consider estimation domains in R^p that are non-compact, and to provide a theoretical study of the risk of the estimator relative to a norm weighted by the distribution of the design. We propose a model selection procedure in which the model collection is random and takes into account the discrepancy between the empirical norm and the norm associated with the distribution of design.