Divers aspects de la coloration de graphes

Many aspects of graph coloring

• Auteur / Autrice : Yiting Jiang
• Direction : Réza Naserasr, Xuding Zhu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 10/06/2022
• Etablissement(s) : Université Paris Cité en cotutelle avec Zhejiang Normal University (Chine ; 1956-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Jaroslav Nešetřil
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Réza Naserasr, Xuding Zhu, Jaroslav Nešetřil, Baogang Xu, Jean-Sébastien Sereni, Liying Kang, Ida Kantor
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Baogang Xu, Jean-Sébastien Sereni

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des graphes

Coloriage de graphes

Mots clés libres

Coloration des graphes signés généralisés

Nombre de choix fractionnaire fort

Nombres de coloration généralisée

Classes d'expansion bornée

Discordance combinatoire

Largeur gémellaire

Classes de graphes chi-Bornées

Classes de graphes chi_p-Bornées

Coloring of generalized signed graphs

Strong fractional choice number

Generalized coloring numbers

Tree-Depth coloring

Bounded expansion

Combinatorial discrepancy

Twin-Width

Chi-Boundedness

Résumé

La coloration des graphes est un sujet central en théorie des graphes, et divers concepts de coloration ont été étudiés dans la littérature. Cette thèse étudie certains de ces concepts de coloration et les problèmes associés. Il s'agit notamment de la coloration des graphes signés généralisés, du nombre de choix fractionnels forts des graphes, du nombre de coloration généralisé des graphes, de la largeur gémellaire des graphes, de la discordance (combinatoire) des systèmes d'ensembles définissables et des classes de graphes chi_p-bornées. Un graphe signé est une paire (G, sigma), où G est un graphe et sigma: E (G) to {+,-} est une signature. Un graphe signé généralisé est également une paire (G, sigma), où la signature sigma attribue à chaque arête e une permutation sigma(e) dans un ensemble S comme son signe. Dans une coloration d'un graphe signé ou d'un graphe signé généralisé (G, sigma), le signe sigma(e) détermine les paires de couleurs qui doivent être évitées en tant que couleurs des sommets terminaux de e. Une question naturelle motivée par le théorème des quatre couleurs est de savoir pour quels sous-ensembles S de S_4, tout graphe planaire est S-4-colorable. Cette question a maintenant une réponse complète: seul S={id} possède cette propriété, ce qui signifie que le théorème des quatre couleurs est strict au sens de la coloration généralisée des graphes signés. Ce résultat a été établi par une séquence de six articles, par différents groupes d'auteurs. L'une des contributions de cette thèse est le résultat établi dans l'un de ces articles, à savoir que de nombreux ensembles S n'ont pas la propriété désirée. La thèse considère également des questions similaires pour les graphes planaires sans triangle, ce qui peut être considéré comme une exploration de l'étanchéité du théorème de Grötzsch. Notre résultat montre que pour tout sous-ensemble S de S_3, si S n'est pas conjugué à un sous-ensemble de {id, (12)}, alors il existe un graphe planaire sans triangle qui n'est pas S-3-colorable. Une autre tentative pour renforcer le théorème de Grötzsch est de considérer le nombre de choix fractionnaire fort des graphes planaires sans triangle. Il a été prouvé par Voigt qu'il existe des graphes planaires sans triangle qui ne sont pas 3-choissables. Cette thèse prouve que le supremum du nombre de choix fractionnel fort des graphes planaires sans triangle est au moins 3+1/17. Un sujet important de la théorie structurelle des graphes est l'étude de la complexité structurelle des graphes. Quelques concepts et invariants de graphes sont largement étudiés dans la littérature. Récemment, le concept de largeur gémellaire a été introduit. Dans cette thèse, nous prouvons qu'un graphe G sans sous graphe K_{s,s} et de largeur gémellaire d a ses nombres de coloration forts (faibles) r bornés supérieurement par une fonction exponentielle en r et que nous pouvons construire des graphes réalisant une telle dépendance en r. L'une des deux notions centrales de la théorie structurelle des classes de graphes éparses est celle de classes d'expansion bornée. La discordance combinatoire est un sujet important. Elle mesure les irrégularités inévitables des systèmes d'ensembles et la difficulté intrinsèque de leur approximation. Dans cette thèse, nous donnons une nouvelle caractérisation des classes d'expansion bornée en termes de discordance de système définissables. La notion de chi-boundedness est un sujet central en théorie des graphes chromatiques. Dans cette thèse, les classes chi-bornées sont étudiées ici dans le contexte des colorations stellaires et, plus généralement, des chi_p-colorations. Considéré dans le cadre général de l’étude des classes éparses, il conduit à des extensions naturelles de la notion de classe d'expansion bornée. Nous résolvons ici deux conjectures liées à la limitation du nombre chromatique stellaire (i.e. chi_2). Nous donnons des caractérisations structurelles des classes (fortement et faiblement) chi_p-bornée

Graph coloring is a central topic in graph theory, and various coloring concepts have been studied in the literature. This thesis studies some of the coloring concepts and related problems. These include coloring of generalized signed graphs, strong fractional choice number of graphs, generalized coloring number of graphs, twin-width of graphs, (combinatorial) discrepancy of definable set systems and chi_p-bounded classes of graphs. A signed graph is a pair (G, sigma), where G is a graph and sigma: E (G) to {+,-} is a signature. A generalized signed graph is also a pair (G, sigma), where the signature sigma assigns to each edge e a permutation sigma(e) in a set S as its sign. In a coloring of a signed graph or a generalized signed graph (G, sigma), the sign sigma(e) determines the pairs of colors that need to be avoided as the colors of the end vertices of e. Let S_k be the set of all permutations of [k]. A natural question motivated by the four color theorem is for which subsets S of S_4, every planar graph is S-4-colorable. This question is now completely answered: only S={id} has this property, which means that the four color theorem is tight in the sense of generalized signed graph coloring. This answer is obtained in a sequence of six papers, by different groups of authors. The contribution of this thesis is the results in one of the papers, which shows that many sets S do not have the desired property. The thesis also considers similar questions for triangle-free planar graphs, which can be viewed as exploring the tightness of Grötzsch Theorem. Our result shows that for any subset S of S_3, if S is not conjugate to a subset of {id, (12)}, then there exists a triangle-free planar graph which is not S-3-colorable. Another attempt to strengthen Grötzsch Theorem is to consider multiple list coloring of triangle-free planar graphs. It was proved by Voigt that there are triangle-free planar graphs that are not 3-choosable. This thesis strengthens Voigt's result by considering the strong fractional choice number of graphs and proves that the supremum of the strong fractional choice number of triangle-free planar graphs is at least 3+1/17. One important subject in structural graph theory is to study the structural complexity of graphs or classes of graphs and a few concepts and graph invariants are studied extensively in the literature. These include treewidth of graphs, generalized coloring number, etc. Recently, the concept of twin-width was introduced by Bonnet, Kim, Thomassé and Watrigant. In this thesis, we study the relation between twin-width and generalized coloring number. We prove that a graph G with no K_{s,s}-subgraph and twin-width d has strong(weak) r-coloring numbers bounded by an exponential function of r and that we can construct graphs achieving such a dependency in r. One of the two central notions in structural theory of classes of sparse graphs is the classes with bounded expansion. These classes have strong algorithmic and structural properties and enjoy numerous characterizations and applications. Combinatorial discrepancy is a significant subject in its own right. It measures the inevitable irregularities of set systems and the inherent difficulty to approximate them. In this thesis, we give a new characterization of bounded expansion classes in terms of discrepancy of definable set systems. The notion of chi-boundedness is a central topic in chromatic graph theory. This thesis studies chi-bounded classes in the context of star colorings and, more generally, chi_p-colorings, say chi_s-bounded and (strongly and weakly) chi_p-bounded classes. This fits to a general scheme of sparsity and leads to natural extensions of the notion of bounded expansion class. Here we solve two conjectures related to star coloring ({i.e.} chi_2) boundedness and give structural characterizations of strongly chi_p-bounded classes and weakly chi_p-bounded classes