Simulation numérique des interactions non linéaires en eau peu profonde entre les ondes de surface et une structure flottante

Numerical simulation of nonlinear shallow-water interactions between surface waves and a floating structure

• Auteur / Autrice : Ali Haidar
• Direction : Fabien Marche, François Vilar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 02/12/2022
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : David Lannes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Fabien Marche, François Vilar, David Lannes, Christophe Berthon, Rémi Abgrall, Elena Gaburro, Roland Masson
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Berthon, Rémi Abgrall

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles non linéaires -- Solutions numériques

Équations différentielles hyperboliques

Simulation numérique directe

Méthode de Galerkin Discontinue

Mots clés libres

Discontinuous-Galerkin

Saint-Venant

Ale

A posteriori correction volume finis

Dispersion

Couplage avec objet flottant

Arbitrary Lagrangian Eulerian

Discontinuous-Galerkin

Dispersion

Shallow water

Coupling with floating object

A posteriori local VF correction

Résumé

Dans cette Thèse de Doctorat, nous nous intéressons à deux problématiques: (i) le développement de stratégies de stabilisation pour des méthodes de type discontinuous Galerkin (DG) appliquées à des écoulements shallow-water fortement non-linéaires, (ii) le développement d'une stratégie de modélisation et de simulation numérique des interactions non-linéaires entre les vagues et un objet flottant en surface, partiellement immergé. Les outils développés dans le cadre du premier axe de travail sont mis à profit et valorisés au cours de la deuxième partie.Les méthodes de discrétisation de type DG d'ordre élevé présentent en général des problèmes de robustesse en présence de singularités de la solution. Ces singularités peuvent être de plusieurs natures: discontinuité de la solution, discontinuité du gradient ou encore violation de la positivité de la hauteur d'eau pour des écoulements à surface libre. Nous introduisons dans la première partie de ce manuscript deux approches de type Finite-Volume Subcells permettant d'apporter une réponse à ces problèmes de robustesse. La première approche repose sur une correction a priori du schéma DG associée à un limiteur TVB et un limiteur de positivité. La seconde approche s'appuie quant à elle sur une correction a posteriori permettant d'identifier avec une meilleure précision les cellules incriminée, ainsi que sur les propriétés de robustesse inhérentes au schéma Volumes-Finis limite d'ordre un. Cette seconde approche permet d'assurer la robustesse du schéma DG initial en présence de discontinuité, ainsi que la positivité de la hauteur d'eau, tout en préservant une excellente qualité d'approximation, bénéficiant d'une résolution de l'ordre de la sous-maille. De façon préliminaire, cette seconde approche est également étendue au cas de la dimension deux d'espace horizontal. De nombreux cas-test permettent de valider cette approche.Dans la seconde partie, nous introduisons une nouvelle stratégie numérique conçue pour la modélisation et la simulation des interactions non linéaires entre les vagues en eau peu profonde et un objet flottant partiellement immergé. Au niveau continu, l'écoulement situé dans le domaine extérieur est globalement modélisé par les équations hyperboliques non-linéaires de Saint-Venant, tandis que la description de l'écoulement sous l'objet se réduit à une équation différentielle ordinaire non linéaire. Le couplage entre l'écoulement et l'objet est formulé comme un problème au bord, associé au calcul de l'évolution temporelle de la position des points d'interface air-eau-objet. Au niveau discret, la formulation proposée s'appuie sur une approximation DG d'ordre arbitraire, stabilisée à l'aide de la méthode de correction locale des sous-cellules (a posteriori) introduite dans la première partie. L'évolution temporelle de l'interface air-eau-objet est calculée à partir d'une description Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) et d'une transformation appropriée entre la configuration initiale et celle dépendant du temps. Pour n'importe quel ordre d'approximation polynomiale, l'algorithme résultant est capable de: (1) préserver la loi de conservation géométrique discrète (DGCL), (2) garantir la préservation de la positivité de la hauteur d'eau au niveau des sous-cellules, (3) préserver la classe des états stationnaires au repos (well-balancing), éventuellement en présence d'un objet partiellement immergé.Plusieurs validations numériques sont présentées, montrant le caractère opératoire de cette approche, et mettant en évidence que le modèle numérique proposé: (1) permet effectivement de modéliser les différents types d'interactions vague / objet flottants, (2) calcul efficacement l' évolution temporelle des points de contact air-eau-objet et redéfinit en conséquence le nouveau maillage grâce à la méthode ALE, (3) gère avec précision et robustesse les possibles singularités de l'écoulement, (4) préserve la haute résolution des schémas DG au niveau des sous-cellules.

In this Ph.D., we investigate two main research problems: (i) the design of stabilization patches for higher-order discontinuous-Galerkin (DG) methods applied to highly nonlinear free-surface shallow-water flows, (ii) the construction of a new numerical approximation strategy for the simulation of nonlinear interactions between waves in a free-surface shallow flow and a partly immersed floating object. The stabilization methods developed in the first research line are used in the second part of this work.High-order discontinuous-Galerkin (DG) methods generally suffer from a lack of nonlinear stability in the presence of singularities in the solution. Such singularities may be of various kinds, involving discontinuities, rapidly varying gradients or the occurence of dry areas in the particular case of free-surface flows. In the first part of this work, we introduce two new stabilization methods based on the use of Finite-Volume Subcells in order to alleviate these robustness issues. The first method relies on an a priori limitation of the DG scheme, together with the use of a TVB slope-limiter and a PL. The second one is built upon an a posteriori correction strategy, allowing to surgically detect the incriminated local subcells, together with the robustness properties of the corresponding lowest-order Finite-Volume scheme. This last strategy allows to ensure the nonlinear stability of the DG scheme in the vicinity of discontinuities, as well as the positivity of the discrete water-height, while preserving the subcell resolution of the initial scheme. This second strategy is also preliminary investigated in the two dimensional horizontal case. An extensive set of test-cases assess the validity of this approach.In the second part, we introduce a new numerical strategy designed for the modeling and simulation of nonlinear interactions between surface waves in shallow-water and a partially immersed surface piercing object. At the continuous level, the flow located in the textit{exterior} domain is globally modeled with the nonlinear hyperbolic shallow-water equations, while the description of the flow beneath the object reduces to a nonlinear ordinary differential equation. The coupling between the flow and the object is formulated as a free-boundary problem, associated with the computation of the time evolution of the spatial locations of the air-water-body interface. At the discrete level, the proposed formulation relies on an arbitrary-order discontinuous Galerkin approximation, which is stabilized with the a posteriori Local Subcell Correction method through low-order finite volume scheme introduced in the first part. The time evolution of the air-water-body interface is computed from an Arbitrary-Lagrangian-Eulerian (ALE) description and a suitable smooth mapping between the original frame and the current configuration. For any order of polynomial approximation, the resulting algorithm is shown to: (1) preserves the Discrete Geometric Conservation Law, (2) ensures the preservation of the water-height positivity at the subcell level, (3) preserves the class of motionless steady states (well-balancing), possibly with the occurrence of a partially immersed object.Several numerical computations and test-cases are presented, highlighting that the proposed numerical model(1) effectively allows to model all types of wave / object interactions, (2) efficiently provides the time-evolution of the air-water-body contact points and accordingly redefine the new mesh-grid thanks to ALE method (3) accurately handles strong flow singularities without any robustness issues, (4) retains the highly accurate subcell resolution of discontinuous Galerkin schemes.