Relations entre connaissances universitaires et connaissances enseignées dans le secondaire : la seconde discontinuité de Klein dans le cas de l’intégrale

Relations between academic knowledge and knowledge taught in secondary education : the second discontinuity of Klein in the case of the integral

• Auteur / Autrice : Gaëtan Planchon
• Direction : Thomas Hausberger
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 02/12/2022
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Marianna Bosch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Hausberger, Marianna Bosch, Carl Winsløw, Nicolas Grenier-Boley, Viviane Durand-Guerrier, Pierre Arnoux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carl Winsløw, Nicolas Grenier-Boley

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Anthropologie

Praxéologie

Mots clés libres

Didactique et épistémologie des mathématiques

Théorie Anthropologique du Didactique

Seconde discontinuité de Klein

Praxéologies de Klein

Intégrale et théorie de la mesure

Didactics and epistemology of mathematics

Anthropological Theory of the Didactic

Klein's second discontinuity

Kleinian praxeologies

Integral and measure theory

Résumé

Félix Klein a mis en avant une double discontinuité dans le parcours d'étude en mathématiques : outre la transition secondaire-supérieur, une seconde discontinuité a lieu à la sortie de l’université lorsqu’un étudiant devient enseignant de mathématiques dans le secondaire. Ce dernier perçoit difficilement, en général, les relations entre les mathématiques enseignées au secondaire et les connaissances universitaires.Cette thèse, qui s’inscrit dans le champ de la didactique des mathématiques, a pour but l’étude de la seconde discontinuité de Klein en la particularisant à un objet de savoir : l'intégrale. Ce concept mathématique est enseigné en terminale en France, puis à l'université durant les trois premières années. Plusieurs théories de l'intégration sont étudiées dans le supérieur et les étudiants perçoivent en général assez mal les liens entre ces théories, ainsi qu’avec l'intégrale du lycée. Afin d'analyser les différents phénomènes didactiques qui en résultent, nous plaçons notre étude dans la perspective institutionnelle de la Théorie Anthropologique du Didactique (TAD).Dans un premier temps, nous donnons une revue des travaux en didactique des mathématiques portant sur la seconde discontinuité de Klein ainsi que sur l'intégrale, ces derniers se limitant à la transition secondaire-supérieur. Puis nous présentons une étude épistémologique des principales théories de l'intégration qui sont rencontrées dans l'enseignement. Nous poursuivons avec l’étude de l’enseignement de l’intégrale à l’université en France, notamment la transposition didactique externe au sens de la TAD. Nous faisons état des débats qui ont eu lieu dans la noosphère (la communauté des mathématiciens) quant au choix des théories de l’intégration enseignées en licence et nous les mettons en regard avec ceux opérés par un panel d'universités. Les différents syllabus d’unités d’enseignements liées à l’intégrale sont étudiés à l’aide des outils de l’écologie des savoirs.Notre étude de la transposition didactique de l'intégrale se particularise ensuite au cas de l'université de Montpellier. Des interviews d'enseignants-chercheurs nous permettent d'éclairer les raisons des choix des théories enseignées. L'étude praxéologique des documents de cours en deuxième et troisième années de Licence nous permettent de modéliser les connaissances des étudiants (leur équipement praxéologique) sous la forme de modèles praxéologiques dominants (au sens de la TAD). La mise en regard avec un modèle praxéologique dominant pour l’intégrale du lycée nous permet ensuite de pointer des liens et des ruptures dans ces ensembles de connaissances, en termes des blocs constitutifs des praxéologies mobilisant le concept d'intégrale. En particulier, nous montrons que la théorie intuitive des aires qui fonde l’intégrale du lycée n'est pas formalisée à l'université, outre la théorie de la mesure - d'un niveau de généralité et d'abstraction bien supérieur.De fait, notre enquête épistémologique nous a permis d’identifier une théorie intermédiaire, la mesure de Jordan, à partir de laquelle nous avons élaboré une ingénierie qui vise à rendre visibles les liens entre théorie de la mesure, intégrale de Riemann et théorie intuitive de l’aire. Ces relations sont décrites en termes de blocs des praxéologies. Ceci nous conduit à introduire la notion de praxéologies de Klein, lesquels visent un rapport intégrateur aux savoirs enseignées à l'université et dans le secondaire, et à préciser les organisations didactiques associées en adaptant les moments de l’étude de la TAD. Notre ingénierie, construite sous la forme d'une activité d'étude et de recherche au sens de la TAD, a été expérimentée dans le cadre du Master MEEF. Les analyses du travail des étudiants, menées avec les différents outils de la TAD (questiongramme, schéma herbartien et moments de l'étude), confirment les potentialités de notre dispositif tout en mettant en évidence des obstacles au développement des praxéologies de Klein.

Félix Klein has pointed out a double discontinuity in the mathematical study path: in addition to the transition from secondary to higher education, a second discontinuity occurs at the end of the university when a student becomes a mathematics teacher in secondary school. The latter generally has difficulty perceiving the relationship between the mathematics taught in secondary school and the knowledge acquired at university.This thesis, which is part of the field of didactics of mathematics, aims at studying Klein's second discontinuity by particularizing it to an object of knowledge: the integral. This mathematical concept is taught in the final year of high school in France, and then at the university during the first three years. Several integration theories are taught in higher education and students generally do not perceive the links between these theories, as well as with the high school integral. In order to analyze the different didactic phenomena that result, we place our study in the institutional perspective of the Anthropological Theory of the Didactic (ATD).First, we give a review of the literature in mathematics education on Klein's second discontinuity as well as on the integral, the latter being limited to the secondary-tertiary transition. Then we present an epistemological study of the main integration theories that are encountered in teaching. We continue with a study of the teaching of the integral at the university in France, in particular the external didactic transposition in the sense of the ATD. We report on the debates that have taken place in the noosphere (the community of mathematicians) concerning the choice of theories to be taught in the bachelor's degree program and we compare them with those made by a panel of universities. The different syllabi of teaching units related to the integral are studied using the tools of the ecology of knowledge.Our study of the didactic transposition of the integral is then particularized to the case of the university of Montpellier. Interviews with teacher-researchers allow us to shed light on the reasons for the choice of theories taught. The praxeological study of the course documents in the second and third years of the Bachelor's degree allows us to model the students' knowledge (their praxeological equipment) in the form of dominant praxeological models (in the sense of ATD). The comparison with a dominant praxeological model for the high school integral then allows us to point out links and breaks in these sets of knowledge, in terms of the constitutive blocks of praxeologies mobilizing the concept of integral. In particular, we show that the intuitive theory of areas which grounds the high school integral is not formalized at the university, apart from the theory of measurement - of a much higher level of generality and abstraction.In fact, our epistemological investigation has allowed us to identify an intermediate theory, the Jordan measure, from which we have developed an engineering that aims at making visible the relationships between measure theory, the Riemann integral and the intuitive theory of areas. These relations are described in terms of blocks of praxeologies. This leads us to introduce the notion of Kleinian praxeologies, which aim at an integrative relation to the knowledge taught at the university and in the secondary school, and to specify the associated didactic organizations by adapting the moments of study of the ATD. Our engineering, built in the form of a study and research activity in the sense of the ATD, was experimented in the context of the Master MEEF (student teachers). The analyses of the students' work, carried out with the different ATD tools (Question-answer maps, Herbartian scheme and moments of study), confirm the potentialities of our device while highlighting obstacles to the development of Kleinian praxeologies.