Complexes discrets pour les fluides incompressibles.

Discrete complexes for incompressible fluids.

• Auteur / Autrice : Marien-Lorenzo Hanot
• Direction : Pascal Azerad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Modélisation
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Luc Guermond
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Azerad, Snorre H. Christiansen, Jérôme Droniou, Daniele Antonio Di Pietro, Francesca Rapetti
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Snorre H. Christiansen, Jérôme Droniou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Maillages polyédriques

De Rham, Cohomologie de

Théorème de Helmholtz-Hodge

Fluides incompressibles

Mots clés libres

Calcul extérieur

Éléments finis

Décomposition de Hodge

Complexe de De Rham

Navier-Stokes incompressible

Maillages polyhédriques

Exterior calculus

Finite element

Hodge decomposition

De Rham complex

Incompressible Navier-Stokes

Polyhedral meshes

Résumé

Les complexes différentiels discrets ont récemment attiré l'attention des numériciens en raison des nombreux avantages qu'ils offrent pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles.Ils sont particulièrement intéressants pour la création de méthodes préservant la structuretelle que par exemple la divergence nulle des solutions discrètes.Dans cette thèse, nous explorons les possibilités d'application de ces complexes aux fluides incompressibles.Nous nous sommes d'abord concentrés sur le complexe de De Rham avec régularité minimale.Bien que très utilisé pour traiter de l'électromagnétisme, il n'a été que très rarement considéré pour les fluides.Nous avons étudié diverses façons d'utiliser ce complexe en mécanique des fluides incompressibles.Nous construisons un schéma pour les équations de Navier-Stokes et l'analysons en démontrant des résultats de convergence, des estimations d'erreur et surtout la préservation de la structure avec une conservation exacte de certaines quantités.La régularité minimale impose cependant des restrictions, et en particulier limite les conditions au bord applicables.Afin de pallier ce problème, nous proposons une discrétisation du complexe de Stokes, autre complexe de régularité plus élevée et mieux adaptée aux équations de Stokes ou Navier-Stokes.Ce dernier complexe repose sur une méthode hybride et entièrement discrète ce qui permet, en plus de profiter des propriétés de complexe, d'utiliser n'importe quel maillage polyédrique (pas forcément conforme ni simplicial).

Discrete complexes have attracted the attention of numerical scientists because of the many advantages they offer for the discretization of partial differential equations.They are particularly interesting for the creation of structure preserving methodssuch as methods imposing discrete solutions to be exactly divergence-free.In this thesis, we explore the possible applications of these complexes to incompressible fluids.We first focused on the De Rham complex with minimal regularity.Although it is widely used for electromagnetism, it has been rarely considered for fluids.We wished to study in more depth the possibility of using this complex with fluids.We construct a scheme for the Navier-Stokes equations and analyze it by demonstratingconvergence results, error estimates and especially the preservation of the structure with an exact conservation of some quantities.However, the minimal regularity imposes constraints, and in particular limits the applicable boundary conditions.In order to overcome these problems, we design a new discretization of the Stokes complex (which is another complex with higher regularity suitable for Stokes or Navier-Stokes equations) and study its properties.This discrete complex is based on a hybrid and fully discrete method which allows, in addition to take advantage of the complex properties, to use any polyhedral mesh, that is not necessarily conformal nor simplicial.