Ruptures, singularités : détection et estimation

Change-point : detection and estimation

• Auteur / Autrice : Arij Amiri
• Direction : Charles Suquet, Sergueï Dachian
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 02/12/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Céline Duval
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gabriela Ciuperca, Farida Enikeeva
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Bardet, Reinhard Höpfner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique bayésienne

Holder, Espaces de

Poisson, Processus de

Estimation de paramètres

Rupture (statistique)

Mots clés libres

Estimateur bayésien

Rupture épidémique

Poisson process

Hölder space

Change point

Résumé

Cette thèse regroupe quelques travaux concernant des problèmes de rupture pour des processus stochastiques. Dans la première partie, nous nous intéressons au problème d'estimation, à partir de [dollar]n[dollar] observations indépendantes d'un processus de Poisson non-homogène, de la position de ce que nous appelons une rupture lisse (un endroit où la fonction d'intensité du processus passe d'un niveau à un autre d'une manière continue, mais sur un intervalle tellement petit, que sa longueur [dollar]delta_n[dollar] peut être considérée comme convergeant vers~[dollar]0[dollar]). Nous montrons que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] moins vite que [dollar]1/n[dollar] (cas lent), notre modèle est localement asymptotiquement normal (avec une vitesse non standard), et que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] plus vite que [dollar]1/n[dollar] (cas rapide), notre modèle est non régulier et se comporte comme un modèle de rupture classique. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant la méthode d'analyse de rapport de vraisemblance de Ibragimov et Khasminskii, qui garantit également la convergence des moments des estimateurs considérés. Par contre, pour pouvoir appliquer cette méthode dans le cas rapide, nous avons dû d'abord l'adapter à la topologie [dollar]M_1[dollar] sur l'espace de Skorokhod des fonctions càdlàg, ainsi que développer quelques outils pour l'étude de convergence des fonctions dans cette topologie. La deuxième partie de la thèse traite de la détection de rupture dans la régularité höldérienne. Nous étudions la détection de rupture épidémique dans la régularité d'un [dollar]n[dollar]-échantillon de fonctions aléatoires i.i.d. de régularité höldérienne globale [dollar]alpha[dollar] sous l'hypothèse nulle. Sous l'hypothèse alternative, un segment d'échantillon de localisation et de longueur [dollar]l^star<n[dollar] inconnues subit une diminution de la régularité höldérienne à l'exposant [dollar]beta<alpha[dollar]. Nous utilisons ici une statistique de type CUSUM à pondération höldérienne d'exposant [dollar]0<gamma<1/2[dollar] construite sur les normes [dollar]alpha[dollar]-höldériennes d'interpolations affines des fonctions aléatoires observées. Le choix de [dollar]gamma[dollar], contraint par le degré d'intégrabilité des fonctions aléatoires, permet la détection de très courtes ruptures, typiquement avec [dollar]l^star[dollar] de l'ordre de [dollar]n^delta[dollar] où [dollar]delta[dollar] tend vers [dollar]0[dollar] quand [dollar]gamma[dollar] tend vers [dollar]1/2[dollar]. Nous réinvestissons ensuite cette technique dans l'étude de la rupture de régularité höldérienne d'une seule fonction aléatoire [dollar]xi[dollar] à trajectoires continues et accroissements indépendants et de carré intégrable. Ce problème se ramène à la détection de rupture épidémique pour le og paramètrefg fonctionnel [dollar]f[dollar] dans le modèle [dollar]xi(t) = W(f(t)) [dollar], [dollar]tin[0,1] [dollar], où [dollar]W[dollar] est un mouvement brownien standard et [dollar]f[dollar] une fonction continue croissante. On aboutit ainsi à un problème de rupture épidémique dans la variance des accroissements de pas [dollar]1/n[dollar] de [dollar]xi[dollar], et l'utilisation d'une statistique CUSUM à pondération höldérienne généralisée nous permet de détecter une très courte rupture. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant le principe d'invariance höldérien.

This Ph.D. thesis gathers some works concerning change-point problems for stochastic processes. In Part one, we are interested in the problem of the estimation, from [dollar]n[dollar] independent observations of an inhomogeneous Poisson process, of the location of what we call a smooth change-point (a point in which the intensity function of the process switches from one level to another smoothly, but over such a small interval, that its length [dollar]delta_n[dollar] can be considered as converging to~[dollar]0[dollar]). We show that in the case where [dollar]delta_n[dollar] goes to zero slower than [dollar]1/n[dollar] (slow case), our model is locally asymptotically normal (though with an unusual rate), and that in the case where [dollar]delta_n[dollar] goes to zero faster than [dollar]1/n[dollar] (fast case), our model is non-regular and behaves like a classic change-point model. All these results are obtained using the likelihood ratio analysis method of Ibragimov and Khasminskii, which equally yields the convergence of moments of the considered estimators. However, in order to apply this method in the fast case, we first had to adapt it to the topology [dollar]M_1[dollar] on the Skorokhod space of càdlàg functions, as well as to develop some tools for the study of convergence of functions in this topology. The Part two deals with the detection of a change in the Hölder regularity. We study the detection of an epidemic change in the regularity of an [dollar]n[dollar]-sample of i.i.d. random functions with Hölder regularity [dollar]alpha[dollar] under null hypothesis. Under the alternative hypothesis, a segment of the sample of an unknown location and length [dollar]l^star<n[dollar] undergoes a decrease of the Hölder regularity to an exponent [dollar]beta<alpha[dollar]. We use a CUSUM-type statistic with a Hölderian weighting with exponent [dollar]0<gamma<1/2[dollar] constructed on the [dollar]alpha[dollar]-Hölderian norms of interpolations of the observed random functions. The choice of [dollar]gamma[dollar], constrained by the degree of integrability of the random functions, allows the detection of very short changes, typically with [dollar]l^star[dollar] of order of [dollar]n^delta[dollar], where [dollar]delta[dollar] goes to [dollar]0[dollar] when [dollar]gamma[dollar] goes to [dollar]1/2[dollar]. We then reinvest this technique in the study of the change of the Hölder regularity of a single square integrable random function [dollar]xi[dollar] with continuous trajectories and independent increments. This problem is reduced to the detection of an epidemic change for the functional "parameter'' [dollar]f[dollar] in the model [dollar]xi(t) = W(f(t)) [dollar], [dollar]tin[0,1] [dollar], where [dollar]W[dollar] is a Brownian motion and [dollar]f[dollar] is a non-decreasing continuous function. This leads to a problem of epidemic change in the variance of increments of mesh size [dollar]1/n[dollar] of [dollar]xi[dollar], and the use of a CUSUM statistic with a generalized Hölderian weighting allows us to detect a very short epidemics. All these results are obtained using the Hölderian invariance principle.