Sur les équations fonctionnelles des fonctions L p-adiques pour GL(2)

On functional equations of p-adic L-functions for GL(2)

• Auteur / Autrice : Duc Nam Nguyen
• Direction : Mladen Dimitrov
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 07/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Loïc Merel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Chi-Yun Hsu, Didier Lesesvre
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Kazim Büyükboduk, Pierre Colmez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes automorphes

Équations fonctionnelles

Nombres p-adiques

Fonctions L

Mots clés libres

Conjecture du zéro trivial

Symboles modulaires surconvergents

Distributions p-Adiques

Groupe général linéaire

P-Adic L-Functions

Functional equation

Trivial zero conjecture

Automorphic representations

Overconvergent modular symbols

P-Adic distributions

Résumé

Pour un p-raffinement non-critique et régulier d'une représentation automorphe cuspidale cohomologique de GL(2) sur un corps de nombres totalement réel, nous prouvons une équation fonctionnelle de sa fonction L p-adique attachée. Nous obtenons cela grâce à la formule d'interpolation entre les fonctions L p-adiques et complexes et l'équation fonctionnelle des fonctions L. Nous utilisons cette équation fonctionnelle pour prouver la conjecture des zéros triviaux au point critique central.D'autre part, nous développons une théorie des symboles modulaires surconvergents à valeurs dans des distributions p-adiques sur la droite projective du corps des nombres rationnels p-adiques inspirée par les symboles modulaires surconvergents de Stevens et une idée de Colmez dans l'espoir d'obtenir certaines équations fonctionnelles des fonctions L p-adiques faisant intervenir la transformation de z en son inverse sur la droite projective des nombres rationnels p-adiques.

For a regular non-critical p-refinement of a cohomological cuspidal automorphic representation of GL(2) over a totally real number field, we prove a functional equation of its attached p-adic L-function. We obtain it from the interpolation formula between p-adic and complex L-functions and the functional equation of L-functions. We use this functional equation to prove the trivial zero conjecture at the central critical point.On the other hand, we develop a theory of overconvergent modular symbols with values in p-adic distributions on the projective line of the field of p-adic rational numbers inspired by Stevens's overconvergent modular symbols and the idea of Colmez with the hope that one can obtain some functional equations of p-adic L-functions involving the transformation mapping z to its inverse on the projective line of p-adic rational numbers.