Géométrie et nouvelles W-algèbres rationnelles

Geometry and new rational W-algebras

• Auteur / Autrice : Justine Fasquel
• Direction : Anne Moreau, Tomoyuki Arakawa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 12/07/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : David Hernandez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dimitri Markouchevitch, Michela Varagnolo, Huafeng Zhang, David Ridout
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dražen Adamović, Reimundo Heluani

Mots clés

Mots clés contrôlés

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

Algèbres vertex

W-Algèbres

Théorie des représentations

Orbites nilpotentes

Vertex algebras

W-Algebra

Rationality

Representation theory

Lie algebras

Nilpotent orbits

Résumé

Les W-algèbres affines forment une famille riche d’algèbres vertex à un paramètre associées à un élément nilpotent d’une algèbre de Lie simple. Ce sont des structures algébriques complexes qui apparaissent dans plusieurs domaines de la physique et des mathématiques. Du fait de leur construction récente, de nombreux aspects de la théorie des W-algèbres restent méconnus.Dans cette thèse, nous étudions des W-algèbres associées à des éléments nilpotents d’algèbres de Lie de petits rangs. Nous démontrons la rationalité d’une nouvelle famille de W-algèbres, décrivons l’ensemble des modules simples sur ces dernières et étudions d’autres aspects géométriques. Nous décrivons de nouvelles variétés associées à des algèbres vertex. La géométrie de ces objets reflète souvent des propriétés algébriques importantes des algèbres vertex. Pour certaines valeurs particulières du paramètre, appelées niveaux d’effondrement, nous obtenons également de nouveaux isomorphismes remarquables de W-algèbres.

Affine W-algebras form a rich one-parameter family of vertex algebras associated with nilpotent elements of simple Lie algebras. These complex algebraic structures appear in several areas of physic and mathematics. Because of their recent construction, numerous aspects of the theory of W-algebras remain unknown.In this thesis, we study W-algebras associated with nilpotent elements of Lie algebras of small ranks. We prove the rationality of a new family of W-algebras, describe their set of simple modules and study other geometrical aspects. We describe new associated varieties of vertex algebras. The geometry of these objects often reflects some important algebraic properties of the vertex algebras. For some particular values of the parameter, called collapsing levels, we also get new remarkable isomorphisms of W-algebras.