Thèse soutenue

Arithmétique et topologie des noeuds modulaires

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Auteur / Autrice : Christopher-Lloyd Simon
Direction : Patrick Popescu-PampuÉtienne Ghys
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
Date : Soutenance le 24/06/2022
Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
Jury : Président / Présidente : Francis Bonahon
Examinateurs / Examinatrices : Anne Pichon, Louis Funar
Rapporteurs / Rapporteuses : Francis Bonahon, Jean-Pierre Otal

Résumé

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Dans cette thèse consacrée au groupe modulaire PSL(2;Z), on étudie plusieurs structures arithmétiques et topologiques sur l'ensemble de ses classes de conjugaison, comme des relations d'équivalence ou des fonctions bilinéaires.Le groupe modulaire PSL(2;Z) agit sur le plan hyperbolique avec pour quotient la surface modulaire M, dont le fibré tangent unitaire U est une variété de dimension 3 homéomorphe au complémentaire d'un noeud de trèfle dans la sphère. Les noeuds modulaires dans U sont les orbites périodiques du flot géodésique, relevés des géodésiques fermées orientées de M, qui correspondent aux classes de conjugaison hyperboliques dans PSL(2;Z). Leur enlacement avec le noeud de trèfle est bien compris. On s'intéresse aux nombres d'enlacement entre ces noeuds modulaires, pour lesquels on détermine plusieurs expressions exploitant la combinatoire, la dynamique ou l'algèbre du groupe modulaire. En particulier, on associe à deux noeuds modulaires une fonction définie sur la variété des caractères de PSL(2;Z), dont la limite au bord retrouve leur enlacement.Les matrices hyperboliques de PSL(2;Z) indexent aussi diverses familles d'objets arithmétiques, telles que les formes quadratiques binaires entières indéfinies.Pour un corps K contenant Q, on dit que deux matrices de PSL(2;Z) sont K-équivalentes si elles sont conjuguées par un élément de PSL(2;K). On décrit comment le groupement des PSL(2;Z)-classes en K-classes varie avec K. Pour K=C cela revient à regrouper les formes quadratiques d'un même discriminant, ou les géodésiques modulaires de même longueur. Pour K=Q on obtient un raffinement de cette relation d'équivalence, que l'on relie à l'arithmétique des formes quadratiques (symboles de Hilbert) et que l'on décrit en termes des géodésiques modulaires (angles aux points d'intersection et longueurs des ortho-géodésiques).