Processus aléatoires à valeurs dans les arbres algébriques et hiérarchiques

Algebraic and nested tree-valued processes

• Auteur / Autrice : Josué Nussbaumer
• Direction : Viet Chí Tran, Anita Winter
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 13/05/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....) en cotutelle avec Universität Duisburg-Essen
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Amandine Véber
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Anton Wakolbinger, David Dereudre
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Bénédicte Haas, Peter Pfaffelhuber

Mots clés

Mots clés contrôlés

Relations hôte-parasite

Analyse cladistique

Processus de naissance et de mort (processus stochastiques)

Processus de diffusion

Arbres (théorie des graphes)

Processus stochastiques

Mots clés libres

Arbre algébrique

Coalescent de Kingman

Processus à deux niveaux

Kingman coalescent

Algebraic tree

Two-Level processes

Résumé

Cette thèse a pour objet l'étude de processus stochastiques à valeurs arbres qui modélisent les relations généalogiques au sein d'une population.Le premier chapitre est consacré à la limite infinie du modèle alpha introduit par D. Ford. Il s'agit d'une famille à un paramètre d'arbres binaires aléatoires avec un nombre fini de feuilles, qui interpole l'arbre coalescent (aussi connu sous le nom d'arbre de Yule) et l'arbre de branchement (également connu sous le nom d'arbre uniforme). Pour construire les modèles alpha de Ford avec un nombre infini de feuilles, ils sont vus comme des variables aléatoires prenant leurs valeurs dans l'espace des arbres algébriques binaires mesurés introduits par W. Löhr et A. Winter. Nous montrons que les modèles alpha de Ford convergent en distribution dans cet espace muni de la convergence des formes des sous-arbres échantillonnés. Nous déterminons ensuite la loi de distribution des masses des sous-arbres autour des points d'embranchement dans le cas particulier de l'arbre algébrique mesuré de Kingman. Nous introduisons également, via un problème de martingale bien posé, la diffusion alpha de Ford qui généralise la diffusion d'Aldous construite par W. Löhr, L. Mytnik et A. Winter. Enfin, en utilisant le fait que l'arbre alpha de Ford avec un nombre infini de feuilles est une distribution invariante de la diffusion alpha de Ford, nous donnons une description complète de la loi de distribution des masses des sous-arbres autour des points d'embranchement pour tout arbre alpha Ford.Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à la version à deux niveaux de deux dynamiques de rééchantillonnage sur des espaces d'arbres introduites par A. Greven, P. Pfaffelhuber et A. Winter. Nous construisons d'abord le modèle de Moran à valeurs arbres à deux niveaux comme un processus stochastique à valeurs dans l'espace des espaces (ultra-)métriques mesurés à deux niveaux, muni de la topologie faible-Gromov à deux niveaux, définie par R. Meizis. Dans ce modèle, une population finie de parasites divisée en un nombre fini d'hôtes évolue lors d'événements de naissance-mort, à la fois au niveau des parasites et des hôtes. Nous montrons que les opérateurs de ces processus convergent uniformément lorsque les nombres d'hôtes et de parasites tendent tous les deux vers l'infini, et que le problème de martingale associé à l'opérateur limite est bien posé. L'unicité de la solution se montre par un résultat de dualité au coalescent de Kingman à deux niveaux. Nous appelons la solution du problème de martingale le processus de Fleming-Viot à valeurs arbres à deux niveaux. Enfin, nous donnons des formules décrivant l'évolution des longueurs des sous-arbres échantillonnés sous cette dynamique.Le dernier chapitre est consacré à l'espace des arbres algébriques mesurés à deux niveaux, qui sont les analogues à deux niveaux des arbres algébriques mesures introduits par W. Löhr et A. Winter. En associant chaque arbre algébrique (mesuré à deux niveaux) à l'espace métrique (mesuré à deux niveaux) donné par la distance provenant de la distribution des points de branchement, nous utilisons la topologie faible-Gromov à deux niveaux pour définir une topologie métrisable. Sur le sous-espace des arbres binaires, nous introduisons également une topologie plus naturelle appelée convergence des formes des sous-arbres échantillonnés à deux niveaux. Nous encodons les arbres algébriques binaires mesurés à deux niveaux par un couple formé d'une triangulation du cercle et d'une mesure aléatoire sur le cercle, ce qui nous permet de montrer que les deux notions de topologies sur l'espace des arbres algébriques binaires mesurés à deux niveaux sont équivalentes et compactes. Nous terminons le chapitre par la construction de l'arbre algébrique mesuré aléatoire à deux niveaux correspondant au coalescent de Kingman imbriqué.

This thesis aims to study several tree-valued stochastic processes modeling the genealogical relationships within a population.The first chapter is devoted to the infinite limit of the alpha model introduced by D. Ford. It is a one-parameter family of random binary trees with a fixed number of leaves which interpolates between the coalescent tree (also known as the Yule tree) and the branching tree (also known as the uniform tree). To construct the alpha-Ford models with an infinite number of leaves, we see them as elements of the space of binary algebraic measure trees, which is equipped with the sample shape convergence introduced by W. Löhr and A. Winter. We show that in this space the sequence of the alpha-Ford trees with an increasing number of leaves converges weakly. We then determine the annealed law of the statistics of subtree masses in the particular case of the Kingman algebraic measure tree. We also introduce through a well-posed martingale problem the alpha-Ford diffusion which generalizes the version of the Aldous diffusion constructed by W. Löhr, L. Mytnik and A. Winter. Finally, using that the alpha-Ford tree with infinitely many leaves is an invariant distribution of the alpha-Ford diffusion, we give a complete description of the annealed law of the statistics of subtree masses for any alpha-Ford tree through recursive relations on its moments.In the second chapter, we are interested in the two-level version of two tree-valued resampling dynamics introduced by A. Greven, P. Pfaffelhuber and A. Winter . We first build the two-level tree-valued Moran dynamics as a stochastic process with values in the space of (ultra-)metric two-level measure spaces equipped with the two-level Gromov-weak topology, defined by R. Meizis. Under this model, a finite population of parasites divided in finitely many hosts undergoes resampling, both on the parasite and the host levels. Then, we show that the operator of this dynamics uniformly converge as the numbers of hosts and parasites both tend to infinity and that the martingale problem associated with the limit operator is well posed. The uniqueness of the solution results from a duality to the nested Kingman coalescent. We call the solution of the martingale problem the two-level tree-valued Fleming-Viot dynamics. Finally, we give formulas describing the evolution of the lengths of sampled subtrees under this dynamics.The last chapter focuses on the space of algebraic two-level measure trees, which are the two-level analogues of the algebraic measure trees introduced by W. Löhr and A. Winter. Associating each algebraic (two-level measure) tree to the metric (two-level measure) space given by the distance arising from the distribution of branch points, we use the two-level Gromov-weak topology to define a metrizable topology. On the subspace of binary trees, we also introduce with the two-level sample shape convergence a more natural topology. We encode binary algebraic two-level measure trees with a triangulation of the circle together with a two-level measure on the circle line. Through this encoding, we prove that the two notions of topologies we defined on the subpace of binary algebraic two-level measure trees are equivalent and compact. We finish the chapter with a construction of the random algebraic two-level measure tree corresponding to the nested Kingman coalescent.