Constructions bar cycliques et topologie de basse dimension

Cyclic bar constructions and low-dimensional topology

• Auteur / Autrice : Ivan Bartulović
• Direction : Alexis Virelizier, Benoit Fresse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 04/05/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Julien Bichon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : François Costantino
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christoph Schweigert, Andrea Solotar

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie quantique des champs

Topologie de basse dimension

Hopf, Algèbres de

Mots clés libres

Homologie cyclique

Théories des champs quantiques topologiques (TQFT)

Cyclic homology

Hopf algebras

Low-Dimensional topology

Topological quantum field theory (TQFT)

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les objets cycliques et leurs interactions avec les invariants quantiques et les théories des champs topologiques. La cohomologie cyclique des algèbres a été introduite dans les années 80, indépendamment par Connes et Tsygan. Un objet (co)cyclique dans une catégorie est un objet (co)simplicial muni d'actions compatibles des groupes cycliques. D'autre part, la topologie quantique est née après la découverte par Jones (1984) d'un nouvel invariant polynomial des nœuds et des entrelacs, qui fut rapidement relié aux groupes quantiques introduits par Drinfeld (1985) et aux méthodes de la théorie quantique des champs par Witten (1989). Une construction fondamentale d'une théorie des champs topologique (TQFT) en dimension 3 est la construction de Reshetikhin-Turaev.Du point de vue algébrique, nous étudions les objets paracycliques et cycliques associés aux algèbres et cogèbres catégoriques. Dans le cas des algèbres de Hopf, en s'appuyant sur les travaux de Khalkhali-Pourkia, nous étudions une généralisation tressée de la construction de Connes-Moscovici. En particulier, nous décrivons une version catégorique de la trace de Connes-Moscovici. De plus, nous étendons la construction de Connes-Moscovici au cas des coefficients dans les bi(co)modules sur les algèbres de Hopf catégoriques.Du point de vue topologique, nous munissons les string links d'une structure d'ensemble (co)cyclique. Ceci est inspiré par les constructions bar cycliques tressées associées à la coend d'une catégorie enrubannée, qui est une algèbre de Hopf catégorique. De plus, nous montrons que la famille des surfaces fermées orientées de genre g admet une structure d'objet (co)cyclique dans la catégorie des 3-cobordismes. Par conséquent, toute TQFT de dimension 3 induit un espace vectoriel (co)cyclique. Nous le calculons algébriquement pour la TQFT de Reshetikhin-Turaev.

In this thesis we study cyclic objects and their interplay with quantum invariants and topological field theories. Cyclic cohomology of algebras is introduced independently by Connes and Tsygan in the 1980s. A (co)cyclic object in a category is, roughly speaking, a (co)simplicial object with compatible actions of the cyclic groups. On the other hand, quantum topology is born after the discovery by Jones (1984) of a new polynomial invariant of knots and links, rapidly connected with quantum groups introduced by Drinfeld (1985) and methods of quantum field theory by Witten (1989). A fundamental construction of topological quantum field theory (TQFT) in dimension 3 is given by the Reshetikhin-Turaev construction.From the algebraic point of view, we study paracyclic and cyclic objects obtained from categorical algebras and coalgebras. In the case of Hopf algebras, building on work from Khalkhali-Pourkia, we study a braided generalization of the Connes-Moscovici construction. In particular, we describe a categorical version of Connes-Moscovici trace. Moreover, we extend the Connes-Moscovici construction to the case of coefficients in bi(co)modules over categorical Hopf algebras.From the topological point of view, we endow the set of string links with a structure of a (co)cyclic set. This is inspired by braided (co)cyclic bar constructions associated to the coend of a ribbon category, which is a categorical Hopf algebra. Moreover, we show that family closed oriented surfaces of genus g has a structure of a (co)cyclic object in the category of 3-dimensional cobordisms. Consequently, any 3-dimensional TQFT gives rise to a (co)cyclic vector space. We compute it algebraically for the Reshetikhin-Turaev TQFT.