Semi-Groupes d'opérateurs de composition pondérés

Weighted composition semigroups

• Auteur / Autrice : Eddy Bernard
• Direction : Isabelle Chalendar
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/12/2022
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies du numérique, de l’Information et de la Communication (Nantes ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Wolfgang Arendt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Wolfgang Arendt, Pascal Lefèvre, Frédéric Bayart, John Edward McCarthy
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Pascal Lefèvre, Frédéric Bayart

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Espaces fonctionnels

Opérateurs de composition

Semigroupes

Mots clés libres

Semi-Groupes

Composition pondérés

Spectre

Semigroups

Weighted composition

Spectrum

Résumé

L'objectif de cette thèse est d'étudier les opérateurs de composition à poids sur des espaces de fonctions holomorphes, ainsi que des semi-groupes de tels opérateurs. Ces travaux font suite à l'étude des opérateurs de composition. Soit Omega un ouvert non vide simplement connexe de mathbb{C}. Soient varphi: Omega rightarrow Omega et m:Omega rightarrow mathbb{C} deux fonctions holomorphes. On définit l'opérateur de composition à poids W_{m, varphi} sur Hol(Omega) par W_{m, varphi} f := m. fcirc varphi. Dans un premier temps, nous avons regardé les propriétés spectrales de l'opérateur de composition à poids sur Hol(D) où varphi est un automorphisme elliptique avec un point fixe à l'intérieur. Grâce à une transformation de similarité, on a pu considérer ici que varphi est une rotation. On a trouvé des résultats spectraux très différents suivant que la rotation est périodique ou apériodique. Dans un second temps, nous nous sommes intéressés à tous les autres cas, c'est-à-dire lorsque varphi n'est pas un automorphisme elliptique. On a commencé par donner une description de l'ensemble du spectre ponctuel des opérateurs de composition elliptiques à poids. Puis, on a montré que le spectre est égal au spectre ponctuel auquel on ajoute zéro. Ensuite, nous avons considéré les cas hyperbolique et parabolique. Nous avons montré que le spectre ponctuel des opérateurs de composition hyperbolique ou parabolique pondérés peut être vide ou égal à Csetminus{0}. Dans un troisième temps, nous avons considéré des familles d'opérateurs de composition à poids sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes et plus particulièrement de semi-groupes fortement continus sur ces espaces. Tout d'abord, nous avons montré que le générateur infinitésimal (Gamma, D(Gamma)) du semi-groupe à la forme suivante : Gamma f = gf+Gf^primeD(Gamma)=leftlbrace fin X | gf+Gf^prime in X rightrbrace où g et G sont des applications holomorphes. Puis, nous avons montré l'implication réciproque. C'est-à-dire, si le générateur infinitésimal (Gamma, D(Gamma)) d'un semi-groupe a la forme (ref{abc}), alors le semi-groupe est une famille d'opérateurs de composition à poids. Enfin, on a regardé les semi-groupes de composition à poids sur l'espace de Fréchet Hol(D). Tout d'abord, on a donné des critères pour que la famille d'opérateurs de composition à poids forme un semi-groupe équicontinu ou non. Inversement, on a vu que si la famille d'opérateurs de composition à poids forme un semi-groupe équicontinu sur Hol(D) alors son générateur est donné par Gamma f = gf+Gf^prime avec G, g: Omega rightarrow mathbb{C} des fonctions holomorphes. Dans certains cas, nous avons pu obtenir le spectre ponctuel du générateur et ainsi avoir des informations sur le spectre ponctuel du semi-groupe. Enfin, nous avons vu que si le générateur d'un semi-groupe équicontinu sur Hol(D) est de la forme Gamma f = gf+Gf^prime avec G, g: Omega rightarrow mathbb{C} des fonctions holomorphes, alors le semi-groupe est composé d'opérateurs de composition à poids

The objective of this thesis is to study weighted composition operators on spaces of holomorphic functions, as well as semi-groups of such operators. This work follows the study of composition operators. Let Omega be a simply connected nonempty open set of mathbb{C}. Let varphi: Omega rightarrow Omega and m:Omega rightarrow mathbb{C} two holomorphic functions. We define the weighted composition operator W_{m, varphi} on Hol(Omega) byW_{m, varphi} f := m. fcirc varphi. First, we looked at the spectral properties of the weighted composition operator on Hol(D) where varphi is an elliptic automorphism with a fixed point inside the unit disk. Thanks to a similarity transformation, we could consider here that varphi is a rotation. We found very different spectral results depending on whether the rotation is periodic or aperiodic.In a second step, we are interested in all other cases, i.e. when varphi is not an elliptic automorphism. We started by giving a description of the point spectrum of weighted elliptic composition operators. Then, we showed that the spectrum is equal to the point spectrum to which we add zero. Then we considered the hyperbolic and parabolic cases. We have shown that the point spectrum of the weighted hyperbolic or parabolic composition operators can be empty or equal to Csetminus{0}.In a third step, we considered families of weighted composition operators on Banach spaces of holomorphic functions and more particularly of strongly continuous semi-groups on these spaces. First, we showed that the infinitesimal generator (Gamma, D(Gamma)) of the semi-group has the following form:Gamma f = gf+Gf^primeD(Gamma)=leftlbrace fin X | gf+Gf^primei n X rightrbracewhere g and G are holomorphic applications. Then, we showed the reciprocal implication. That is, if the infinitesimal generator (Gamma, D(Gamma)) of a semigroup has the form (ref{abcd}), then the semigroup is a family of weighted composition operators.Finally, we looked at weighted composition semigroups on the Fréchet space Hol(D). First, we gave criteria for the family of weighted composition operators to form an equicontinuous semigroup or not. Conversely, we have seen that if the family of weighted composition operators forms an equicontinuous semigroup on Hol(D) then its generator is given by Gamma f = gf+Gf^prime with G, g: Omega rightarrow mathbb{C} holomorphic functions. In some cases, we were able to obtain the point spectrum of the generator and thus have information on the point spectrum of the semigroup. Finally, we have seen that if the generator of an equicontinuous semigroup on Hol(D) is of the form Gamma f = gf+Gf^prime with G, g: Omega rightarrow mathbb{C} holomorphic functions, then the semigroup is composed of weighted composition operators