Thèse soutenue

Semi-Groupes d'opérateurs de composition pondérés

FR  |  
EN
Auteur / Autrice : Eddy Bernard
Direction : Isabelle Chalendar
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 12/12/2022
Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies du numérique, de l’Information et de la Communication (Nantes ; 2022-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
Jury : Président / Présidente : Wolfgang Arendt
Examinateurs / Examinatrices : Wolfgang Arendt, Pascal Lefèvre, Frédéric Bayart, John Edward McCarthy
Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Lefèvre, Frédéric Bayart

Mots clés

FR  |  
EN

Résumé

FR  |  
EN

L'objectif de cette thèse est d'étudier les opérateurs de composition à poids sur des espaces de fonctions holomorphes, ainsi que des semi-groupes de tels opérateurs. Ces travaux font suite à l'étude des opérateurs de composition. Soit Omega un ouvert non vide simplement connexe de mathbb{C}. Soient varphi: Omega rightarrow Omega et m:Omega rightarrow mathbb{C} deux fonctions holomorphes. On définit l'opérateur de composition à poids W_{m, varphi} sur Hol(Omega) par W_{m, varphi} f := m. fcirc varphi. Dans un premier temps, nous avons regardé les propriétés spectrales de l'opérateur de composition à poids sur Hol(D) où varphi est un automorphisme elliptique avec un point fixe à l'intérieur. Grâce à une transformation de similarité, on a pu considérer ici que varphi est une rotation. On a trouvé des résultats spectraux très différents suivant que la rotation est périodique ou apériodique. Dans un second temps, nous nous sommes intéressés à tous les autres cas, c'est-à-dire lorsque varphi n'est pas un automorphisme elliptique. On a commencé par donner une description de l'ensemble du spectre ponctuel des opérateurs de composition elliptiques à poids. Puis, on a montré que le spectre est égal au spectre ponctuel auquel on ajoute zéro. Ensuite, nous avons considéré les cas hyperbolique et parabolique. Nous avons montré que le spectre ponctuel des opérateurs de composition hyperbolique ou parabolique pondérés peut être vide ou égal à Csetminus{0}. Dans un troisième temps, nous avons considéré des familles d'opérateurs de composition à poids sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes et plus particulièrement de semi-groupes fortement continus sur ces espaces. Tout d'abord, nous avons montré que le générateur infinitésimal (Gamma, D(Gamma)) du semi-groupe à la forme suivante : Gamma f = gf+Gf^primeD(Gamma)=leftlbrace fin X | gf+Gf^prime in X rightrbrace où g et G sont des applications holomorphes. Puis, nous avons montré l'implication réciproque. C'est-à-dire, si le générateur infinitésimal (Gamma, D(Gamma)) d'un semi-groupe a la forme (ref{abc}), alors le semi-groupe est une famille d'opérateurs de composition à poids. Enfin, on a regardé les semi-groupes de composition à poids sur l'espace de Fréchet Hol(D). Tout d'abord, on a donné des critères pour que la famille d'opérateurs de composition à poids forme un semi-groupe équicontinu ou non. Inversement, on a vu que si la famille d'opérateurs de composition à poids forme un semi-groupe équicontinu sur Hol(D) alors son générateur est donné par Gamma f = gf+Gf^prime avec G, g: Omega rightarrow mathbb{C} des fonctions holomorphes. Dans certains cas, nous avons pu obtenir le spectre ponctuel du générateur et ainsi avoir des informations sur le spectre ponctuel du semi-groupe. Enfin, nous avons vu que si le générateur d'un semi-groupe équicontinu sur Hol(D) est de la forme Gamma f = gf+Gf^prime avec G, g: Omega rightarrow mathbb{C} des fonctions holomorphes, alors le semi-groupe est composé d'opérateurs de composition à poids