Théorèmes limites pour des champs aléatoires dépendants et applications

Limits theorems for dependent random fields and Applications

• Auteur / Autrice : Han-Mai Lin
• Direction : Florence Merlevède
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 23/11/2022
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
• Jury : Président / Présidente : Jérôme Dedecker
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florence Merlevède, Clément Dombry, Cristina Tone, Dalibor Volny, Davide Giraudo, Paul-Marie Samson
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clément Dombry, Cristina Tone

Mots clés

Mots clés contrôlés

Martingales (mathématiques)

Processus stationnaires

Probabilités

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Champs aléatoires

Mots clés libres

Champs Aléatoires

Théorèmes limites

Probabilités

Processus stationnaires

Ortho-Martingale

Probability

Random Field

Limits theorems

Stationary processes

Ortho-Martingale

Résumé

Cette thèse est consacrée au théorème central limite (TCL) et à sa version fonctionnelle pour les champs aléatoires strictement stationnaires. Dans un premier temps, nous traiterons des champs aléatoires strictement stationnaires non nécessairement adaptés à la filtration naturelle, et lorsque la variance asymptotique ne croit pas nécessairement linéairement. Dans cette partie, nous donnons le TCL et sa version fonctionnelle pour les champs aléatoires strictement stationnaires sous la normalisation (sn)_{n dans Z^d}, où (sn)_{n dans Z^d} est une suites réels positifs qui tend vers infini quand n tend vers infini. Dans un deuxième temps, nous nous intéresserons à l'extension du TCL de Gordin sous une condition L^1 projective. On verra que dans le cadre des champs aléatoires indexés par Z^d avec d supérieur ou égal à 2, une condition supplémentaire par rapport au cadre des suites (d = 1) est nécessaire pour obtenir le TCL.Dans le dernier chapitre, nous nous intéresserons au comportement asymptotique des sommes partielles associées à des champs aléatoires à valeurs dans des espaces de Banach. En particulier nous établirons la version fonctionnelle du TCL pour les champs de différences d'ortho-martingales ergodiques et à valeurs dans un espace de Banach soit 2-lisse ou de cotype 2. Puis à l'aide d'une approximation ortho-martingale, nous obtiendrons une version fonctionnelle du TCL pour des champs aléatoires strictement stationnaires à valeurs dans un espace L^p, p dans [1,2], sous des critères projectifs

This thesis is devoted to the central limit theorem (CLT) and its functional version for strictly stationary random fields.In the first part, we deal with strictly stationary random fields that are not necessarily adapted to the natural filtration, and when the asymptotic variance does not necessarily grow linearly. In this part, we give the CLT and its functional version for strictly stationary random fields under the normalization (sn)_{n inZ^d}, where (sn)_{n inZ^d} is a sequence of positive reals which tends to infinity when n tends to infinity.In the second part, we are interested in the extension of Gordin's CLT under a projective L^1 condition. We will see that for random fields indexed by Z^d with d greater than or equal to 2, an additional condition with respect to sequences (d = 1) is necessary in order to obtain the CLT.In the last part, we are interested in the asymptotic behavior of partial sums associated to random fields with values in Banach spaces. In Particular, we obtained the functional version of the CLT for fields of ortho-martingales differences that are ergodic and take values in a 2-smooth or cotype 2 Banach space. Then, using an ortho-martingale approximation, we derive a functional version of the CLT for strictly stationary random fields with values in a L^p space, p in [1,2], under projetive cirteria