Étude des grands systèmes de Lotka-Volterra : l'écologie théorique à travers les matrices aléatoires

Large Lotka-Volterra model : when random matrix theory meets theoretical ecology

• Auteur / Autrice : Maxime Clenet
• Direction : Jamal Najim, François Massol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009) - Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge
• Jury : Président / Présidente : Florence Merlevède
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jamal Najim, François Massol, Christian Mazza, Vincent Calcagno, Vincent Bansaye, Hélène Leman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Mazza, Vincent Calcagno

Mots clés

Mots clés contrôlés

Écologie fonctionnelle

Écologie

Matrices aléatoires

Biomathématiques

Équations différentielles non linéaires

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Ecologie théorique

Matrice aléatoire

Métacommunauté

Lotka-Volterra

Stabilité

Faisabilité

Theoretical ecology

Random matrix

Metacommunity

Lotka-Volterra

Stability

Feasibility

Résumé

La diversité des espèces et la complexité de leurs interactions représentent un défi important en écologie théorique. La difficulté à analyser ces systèmes rend nécessaire le recours à la modélisation mathématique. Le système de Lotka-Volterra forme un modèle simple, robuste et polyvalent utilisé pour décrire de grands systèmes en interaction tels que les réseaux trophiques ou les microbiomes. Ce modèle est constitué de n équations différentielles couplées reliant les abondances des différentes espèces présentes dans le système. Lorsque le nombre d'espèces devient très important, les paramètres du modèle sont trop nombreux pour pouvoir être observés ou estimés correctement. Par conséquent, les interactions entre les différentes espèces peuvent être modélisées comme des variables aléatoires afin de comprendre la dynamique du système. Dans cette thèse, je développe une analyse quantitative des grands systèmes de Lotka-Volterra en m'appuyant sur la théorie des matrices aléatoires et des simulations numériques. Je me focalise d'abord sur l'existence d'une sous-population stable dont je décris les propriétés à l'équilibre. Ensuite, j'étudie l'existence d'un seuil critique permettant la faisabilité de l'équilibre (:= toutes les espèces du système survivent) lorsque les interactions sont corrélées par paires. Une meilleure compréhension de ces phénomènes permet d'étendre ces propriétés à une structure d'interaction par blocs décrivant un modèle multi-communautés. J'analyse les propriétés (faisabilité, existence d'un phénomène d'attrition au sein de chaque communauté) de communautés distinctes en ajustant les interactions inter- et intra-communautaires. Dans une dernière partie, je propose une interprétation probabiliste d'un modèle de compétition multi-espèces dans lequel on modélise non pas l'abondance des espèces à un niveau local mais leurs occurrences par site au niveau du paysage. J'examine dans ce modèle le compromis compétition-colonisation lorsque les paramètres de colonisation suivent une distribution de probabilité donnée. Les résultats obtenus dans ces différents chapitres démontrent l'existence de "lois asymptotiques" régissant le comportement des modèles écologiques lorsque le nombre d'espèces devient très grand

The diversity of species and the complexity of their interactions represent a huge challenge in theoretical ecology. The system's complexity requires mathematical modelisation. The Lotka-Volterra system forms a simple, robust and versatile model used to describe large interacting systems such as food webs or microbiomes. This model consists of n coupled differential equations linking the abundances of the different species present in the system. When the number of species becomes very large, the model parameters are too large to be observed or estimated precisely. Therefore, the interactions between the different species can be modeled as random variables to understand the dynamics of the system. In this thesis, I develop a quantitative analysis of large Lotka-Volterra systems based on random matrix theory and numerical simulations. I first focus on the existence of a stable subpopulation for which I describe the equilibrium properties. Then, I study the existence of a critical threshold that allows the feasibility of equilibrium (:= all species in the system survive) when the interactions are pairwise correlated. A better understanding of these phenomena allows to extend these properties to a block interaction structure describing a multi-community model. I analyze the properties (feasibility, existence of attrition within each community) of distinct communities by adjusting the inter- and intra-community interactions. In a final section, I propose a probabilistic interpretation of a multi-species competition model in which we model not the abundance of species at a local level but their occurrences by patch at the landscape level. I examine in this model the competition-colonization trade-off when the colonization parameters follow a given probability distribution. The results obtained in these different chapters show the existence of "asymptotic laws" governing the behavior of ecological models when the number of species becomes very large