Résonances en théorie de la diffusion et Pseudospectre : stabilité et complétude pour systèmes optiques et gravitationnels

Scattering resonances and Pseudospectrum : stability and completeness aspects in optical and gravitational systems

• Auteur / Autrice : Lamis Al Sheikh
• Direction : José-Luis Jaramillo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/02/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....)
• Jury : Président / Présidente : Dietrich Häfner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lysianne Hari, Rodrigo Panosso Macedo, Yann Boucher
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Carlos F. Sopuerta, Jean-Philippe Nicolas

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Nanoparticules

Trous noirs (astronomie)

Optique

Masse (physique)

Mots clés libres

Stabilité spectrale

Modes quasi-Normaux

Complétude de modes quasi-Normaux

Operateurs non-selfadjoints

Pseudospectre

Trous noir

Nanoparticules

Methodes spectrales

QNM completeness

Pseudospectrum

Quasinormal modes

Non-Selfadjoint operator

Spectrum stability

Black holes

Nanoparticles

Spectral methods

Résumé

Le contexte général de cette thèse est un effort pour établir un pont entre la physique gravitationnelle et optique, spécifiquement dans le contexte des problèmes de diffusion à l’aide des concepts et des outils tirés de la théorie des opérateurs non auto-adjoints. Nous nous concentrons sur les modes quasi-normaux (MQN), appelés les modes de résonance naturels des structures à fuites ouvertes sous des perturbations linéaires soumises à des conditions de bords sortantes.Ils sont également appelés résonances de diffusion. Dans le cas auto-adjoint conservateur, le théorème spectral garantit la complétude et la stabilité spectrale des modes normaux associés.En ce sens, une question naturelle dans le cadre de non auto-adjoint est reliée à la caractérisation et à l’évaluation des notions appropriées de complétude de MQNs et de stabilité spectrale dans les systèmes ouverts non conservateurs. Ceci définit les objectifs de cette thèse. Pour ce faire, et contrairement à l’approche traditionnelle des résonances de diffusion, nous adoptons une méthodologie dans laquelle les MQNs sont présentés comme un problème spectral d’un opérateur approprié non auto-adjoint. Plus précisément, cette méthodologie est basée sur les trois ingrédients suivants :(i) L’approche hyperboloïdale: L’approche en tranchant hyperboloïdales est déjà utilisée dansles problèmes gravitationnels, nous l’avons introduite dans les problèmes optiques. L’idéeest d’étudier l’équation d’onde en tranches hyperboliques au lieu des tranches de Cauchy habituellement utilisées. Le système de coordonnées est plus adapté à la problématique des QNMs et de ses conditions aux limites sortantes, en particulier, aborder les modes explosifs dans l’approche de Cauchy. Les modes sont normalisables en de telles coordonnées ettravailler dans ces tranches éliminent le besoin d’imposer les conditions de bords sortantes.(ii) Pseudospectre d’un opérateur: la notion de epsilon-pseudospectre permet d’évaluer la (in)stabilité des valeurs propres d’un opérateur dans le plan complexe en raison d’une perturbation de l’opérateur d’ordre epsilon. Cette thèse introduit la notion de pseudospectre en physique gravitationnel et optique au voisinage des valeurs propres.(iii) Au niveau technique, les méthodes spectrales fournissent un outil efficace pour traduirele problème en un problème numérique. En particulier, nous avons utilisé la base de Chebyshev pour l’expansion des nos champs. Les résultats de ce travail touchent trois domaines :(i) L’instabilité des MQN pour certaines classes de potentiels. Les modes fondamentaux sont stables spécialement sous de petites perturbations "à haute fréquence", alors que les harmoniques sont sensibles à de telles perturbations. L’instabilité des harmoniques augmente à mesure que leur partie imaginaire grandit.(ii) L’universalité du comportement asymptotique des MQNs et du pseudospectre. Nous remarquons un comportement asymptotiquement logarithmique des lignes de contour du pseudospectre et délimitant les branches d’ouverture des MQNs par le bas.(iii) MQNs expansion. Nous revisitons les expansions résonantes asymptotiques de Lax &Phillips d’un "champ diffusé" en termes de MQNs pour nos problèmes physiques. En particulier, nous utilisons le développement de Keldysh des généralisations des expressions pour les modes normaux des systèmes conservateurs, spécifiquement en termes de fonctions propres MQN normalisables et d’expressions explicites pour les coefficients d’excitation.

The general context of this thesis is an effort to establish a bridge between gravitational andoptical physics, specifically in the context of scattering problems using as a guideline concepts andtools taken from the theory of non-self-adjoint operators. Our focus is on Quasi-Normal Modes(QNMs), namely the natural resonant modes of open leaky structures under linear perturbationssubject to outgoing boundary conditions. They also are referred to as scattering resonances.In the conservative self-adjoint case the spectral theorem guarantees the completeness andspectral stability of the associated normal modes. In this sense, a natural question in the non-self-adjoint setting refers to the characterization and assessment of appropriate notions of QNMcompleteness and spectral stability in open non-conservative systems. This defines the generalobjective of this thesis. To this aim, and in contrast with the traditional approach to scatter-ing resonances, we adopt a methodology in which QNMs are cast as a spectral problem of anappropriate non-self-adjoint operator. Specifically this methodology is based on following threeingredients:(i) Hyperboloidal approach: The hyperboloidal slicing approach is already used in gravitationalproblems, we introduced it here to optical ones. The idea is to study the wave equationin hyperbolic slices instead of usually used Cauchy slices. The system of coordinates ismore adapted to the problem of QNMs and its outgoing boundary conditions, in particularaddressing the exploding modes in the Cauchy approach. The modes are normalizable insuch coordinates and working in these slices eliminate the need of imposing the outgoingboundary conditions.(ii) Pseudospectrum of an operator: the notion of epsilon-pseudospectrum allows to assess the (in)stabilityof eigenvalues of an operator in the complex plane due to a perturbation to the operator oforder epsilon. This thesis introduces the notion of pseudospectrum in gravitational and opticalphysics in the vicinity of the eigenvalues.(iii) Numerical Chebyshev spectral methods: On the technical level, spectral methods providesan efficient tool when translating the problem into a numerical one. In particular we usedChebyshev basis to expand our fields.The results of this work touch three areas:(i) The instability of QNMs for some class of potentials. The fundamental modes are stablespecially under small "high frequency" perturbations, whereas overtones are sensitive tosuch perturbations. The instability of the overtones increases as their imaginary part grows.(ii) The universality of the asymptotic behaviour of QNMs and pseudospectrum. We remarkan asymptotically logarithmic behavior of pseudospectrum contour lines and bounding theopening QNMs branches from below.(iii) QNMs expansion. We revisit Lax & Phillips asymptotic resonant expansions of a "scattered field" in terms of QNMs in our physical settings. In particular , we make use of Keldysh expansion of the generalizations of the expressions for normal modes of conservative systems, specifically in terms of normalizable QNM eigenfunctions and explicit expressions for the excitation coefficients.