Espaces de modules de faisceaux quasi-triviaux sur l'espace projectif tridimensionnel
Auteur / Autrice : | Douglas Guimaraes |
Direction : | Daniele Faenzi, Marcos Jardim |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 16/02/2022 |
Etablissement(s) : | Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Universidade estadual de Campinas (Brésil) |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon) |
Etablissement de préparation : Université de Bourgogne (1970-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Amar Henni |
Examinateurs / Examinatrices : Gaia Comaschi, Charles Almeida | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Ugo Bruzzo, Aleksandr Tihomirov |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Soit M(r,c_1,c_3,c_3) l'espace des modules de Gieseker--Maruyama des faisceaux de rang r semistable sur P^3 avec les première, deuxième et troisième classes de Chern égales à c_1, c_2 et c_3, respectivement. Maruyama a prouvé dans que l'espace M(r,c_1,c_3,c_3) est un schéma projectif. Cependant, la géométrie d'un tel schéma reste largement inconnue, malgré les efforts de nombreux auteurs au cours des quatre dernières décennies, et les questions sur la connexité, l'irréductibilité, le nombre de composants irréductibles, etc., restent ouvertes.Lorsque r=1 et c_1=0 (ce qui peut toujours être obtenu après torsion par un faisceau de lignes approprié), on obtient que M(1,0,c_2,c_3) est isomorphe au schéma de Hilbert Hilb^{d,g}(P^3) de schémas à 1 dimension de degré d=-c_2 et de genre g=c_3-2c_2, qui est connu pour être toujours connecté. On ne sait pas grand-chose en général quand r>1, cependant:- M(2,c_1,c_2,c_3) est irréductible pour c_3=c_2^2-c_2+2 lorsque c_1=0, ou c_3=c_2^2 lorsque c_1=-1 , voir et les références qu'il contient;- M(2,0,2,c_3) a 2 composantes irréductibles lorsque c_3=2 et il a 3 composantes irréductibles lorsque c_3=0.- M(2,-1,2,c_3) a 2 composantes irréductibles lorsque c_3=2 et il a 4 composantes irréductibles lorsque c_3=0.De plus, les espaces de modules dans les éléments (2) et (3) sont connectés. Pour des valeurs plus élevées de c_2, on peut vérifier que le nombre de composantes irréductibles de M(2,c_1,c_2,0) croît avec c_2; on ne sait pas si M(2,c_1,c_2,c_3) est toujours connecté.Le but de cet article est d'explorer un cas quelque peu exotique, à savoir M(r,0,0,-2n)=:N(r,n), dont les points correspondent au faisceaux emph{quasirivial} rang r, soit le semi-stable rang r faisceau E sur P^3 tel que E**=O^r et dim(E**/E)=0; cette nomenclature est empruntée à Artamkin. La motivation vient de sa relation étroite, décrite dans le corps de l'article, entre N(r,n) et les schémas de points de Hilbert et Quot dans P^3. De plus, même si l'objectif principal de cet article est l'espace des modules des faisceaux quasitrivaux semistables, nous fournissons également quelques résultats concernant les faisceaux quasitrivaux mu-semistables.Premièrement, nous étudions les faisceaux mu-semistables E sur P^d avec rk(E)>0 et c_1(E)=c_2(E)=0, et montrons que ce sont toujours des extensions de faisceaux idéaux de sous-schémas de P^d de codimension au moins 3. De plus, nous montrons que l'espace des modules de tels faisceaux est un quotient GIT d'un schéma de Quot.On se concentre alors sur le cas d=3, pour lequel on peut obtenir des résultats plus concrets et précis. Plus précisément, voici le résultat principal de cet article.- N(r,n) est vide chaque fois que r>n ou n<0.- N(n,n) est isomorphe à Sym^n(P^3).- Si r<n, alors N(r,n) a une composante irréductible de dimension 2n+rn-r^2+1. De plus, si n<11, N(r,n) est irréductible.La borne sur n vient du fait que la variété C(n) de triplets de n x n matrices de commutation est connue pour être irréductible précisément pour n<11 ; en fait, notre conclusion est que N(r,n) est irréductible chaque fois que C(n) l'est.