Sur quelques aspects non-linéaires et isométriques de la géométrie asymptotique des espaces de Banach

On a few non-linear and isometric aspects of asymptotic geometry of Banach spaces

• Auteur / Autrice : Yoël Perreau
• Direction : Gilles Lancien, Antonín Procházka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/07/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Bayart
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florent Baudier, Anna Peczar-Barwacz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Miguel Martín, Beata Randrianantoanina

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes métriques

Espaces de Banach

Mots clés libres

Géométrie asymptotique

Plongements non-Linéaires

Indice de Szlenk

Points de Daugavet et points Delta

Banach spaces

Asymptotic geometry

Non-Linear embeddings

Metric graphs

Slzenk index

Daugavet- and Delta-Points

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des espaces de Banach. Elle est composée de trois chapitres que nous allons brièvement décrire dans la suite du paragraphe, et est centrée autour deux grands thèmes de recherche, la géométrie non-linéaire et la théorie isométrique.Dans le premier chapitre, nous introduirons tout le bagage nécessaire en théorie asymptotique des espaces de Banach. On introduira les propriétés standards de lissité asymptotique uniforme et de convexité asymptotique uniforme, et on décrira un large éventail de leur utilisation. On présentera ensuite les résultats majeurs de théorie du renormage dans le contexte en relation avec l'indice de Szlenk, et on décrira quelques applications de cet invariant isomorphique en théorie linéaire des espaces de Banach. En particulier, on considérera la notion fondamentale d'arbres dans un espace de Banach et on fera un brève incursion en théorie des structures asymptotiques qui met en oeuvre dans le contexte de puissants outils combinatoires provenant de la théorie des jeux. On terminera le chapitre par une présentation de la convexité asymptotique moyennée sur laquelle on amènera quelques nouvelles observations.Le deuxième chapitre est consacré à la géométrie non-linéaire. On introduira brièvement toutes les notions de base de la théorie, et en particulier les diverses notions de plongements métriques dont nous aurons l'usage. Le résultat principal de ce chapitre est l'extension d'un résultat dû à Baudier, Kalton et Lancien concernant le non-plongement de la famille (T_N) des arbres hyperboliques à branchements dénombrables dans le contexte des espaces réflexifs au contexte plus général des espaces quasi-réflexifs. On présentera ensuite une extension d'un résultat de plongement dû à Baudier et ses co-auteurs des graphes diamants à branchements dénombrables dans le contexte des espaces réflexifs qui possèdent une structure asymptotique spécifique au contexte des espaces duaux pour lesquels une condition similaire sur la structure asymptotique préfailbe est vérifiée. On terminera le chapitre par quelques commentaires sur les modèles étalés des espaces de Banach et leur application en théorie linéaire et non-linéaire, et on établira quelques liens avec l'indice de Szlenk et le plongement de certaines familles de graphes.Le troisième chapitre est dédié à la géométrie isométrique, et plus particulièrement à l'étude des points de Daugavet et des points Delta d'un espace de Banach. On se focalisera plus spécifiquement sur l'influence de la géométrie asymptotique d'un espace de Banach sur l'existence de tels points. Les résultats principaux de cette étude sont qu'aucun espace asymptotiquement uniformément lisse et qu'aucun espace réflexif asymptotiquement uniformément convexe ne peut contenir de point Delta, et qu'aucun dual préfaiblement asymptotiquement uniformément convexe de peut contenir de point de Daugavet. On produira également des versions locales de ces résultats. On s'intéressera aussi à la question de l'existence de ces points dans les espaces super-réflexifs et on produira un critère qui garantit leur existence dans tout ultrapuissance d'un espace donné dans ce contexte. Finalement on montrera que l'espace de James JT construit sur un arbre dyadique n'admet pas de point Delta.En appendice, on introduira brièvement l'indice ell_1^+ faible dû à Alspach, Judd et Odell, et on utilisera cet indice pour prouver la détermination séparable de l'indice de Szlenk par quotients dans le cadre des espaces dits "weakly compactly generated".

This thesis is devoted to the study of the geometry of Banach spaces. It is composed of three main chapters that we will briefly describe in the present paragraph, and is directed towards two main fields of research, the non-linear geometry and the isometric theory.In Chapter 1 we introduce all the necessary background in the asymptotic theory of Banach spaces which, roughly speaking, considers geometric properties of Banach spaces up to finite dimensional subspaces. This chapter forms the foundations of the thesis as the material presented in it will be central for our studies both in the non-linear and in the isometric theory. We introduce the standard properties of uniform asymptotic smoothness and convexity and present a detailed investigation of their usage. We then present the major known results in the related renorming theory in relation to the Szlenk index and describe some of the applications of this isomorphic invariant to the linear theory of Banach spaces. In particular we consider the important notion of trees in a Banach space and make a brief incursion in the theory of asymptotic structures of Banach spaces which provide powerful combinatoric tools in the context coming from the theory of games. We end the chapter with a presentation of the so-called asymptotic uniform midpoint convexity and provide a few novel observations on the subject.Chapter 2 is devoted to non linear-geometry. We briefly introduce all the necessary background in the theory, and in particular all the relevant notions of metric embeddings. The main result of this chapter is the extension of a result by Baudier, Kalton and Lancien concerning the non embeddability of the family (T_N) of hyperbolic countably branching trees in the context of reflexive Banach spaces to the context of quasi-reflexive Banach spaces. As a corollary we obtain the non embeddability of this family into James spaces J_p. We then present an extension of an embeddability result by Baudier and his co-authors of countably branching diamond graphs in the context of reflexive Banach spaces with specific asymptotic structural properties to the context of dual spaces in which the weak* asymptotic structure presents a similar behavior. We end the chapter with a few comments on the notion of spreading models in Banach spaces and their usage in the non-linear theory, and in particular study their relation with the Szlenk index and the embeddability of certain families of graphs.Chapter 3 is devoted to isometric geometry, and more specifically to the study of the so-called Daugavet- and Delta-points of a Banach space. We focus primarily on the influence of the asymptotic geometry of the space on the existence of such points. The main results of this chapter are that asymptotically uniformly smooth Banach spaces as well as reflexive asymptotically uniformly convex Banach spaces do not admit Delta-points and that weak* asymptotically uniformly convex dual spaces do not admit Daugavet-points. We also provide local versions of those results. We then investigate the question of the existence of Daugavet- or Delta-points in super-reflexive Banach spaces and provide a criterion ensuring in this context the existence of such points in any utrapower of the space. Finally we show that the James tree space JT does not admit Delta-points.In the short Appendix A we introduce the weakly null ell_1^+ index from Alspach, Judd and Odell, and use this index to prove the determination of the Szlenk index by separable quotients for weakly compactly generated Banach spaces.