Corps p-rationnels multiquadratiques

Multiquadratic p-rational fields

• Auteur / Autrice : Julien Koperecz
• Direction : Philippe [Jean-Georges] Lebacque, Jean-Robert Belliard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 02/06/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Ariane Mézard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christine Huyghe
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Florent Jouve, Christian Wuthrich

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des nombres algébriques

Corps globaux (algèbre)

Mots clés libres

Corps p-Rationnels

Théorie analytique des nombres

Théorie de corps de classes

P-Rational fields

Algebraic number theory

Analytic number theory

Global fields

Class field theory

Résumé

Pour un corps de nombres K et un premier p, on note M sa pro-p-extension non-ramifiée en dehors de p maximale. Le corps K est dit p-rationnel lorsque le groupe de Galois de l'extension M/K est un pro-p-groupe libre. Cette hypothèse simplificatrice quant au comportement du premier p vis-à-vis du corps K est conjecturalement vérifiée pour presque tout premier p. La notion de corps p-rationnel a été étudiée depuis les années 1980, en particulier par G. Gras, T. Nguyen Quang Do, J.-F. Jaulent, A. Movahhedi et leurs élèves. En 2016, R. Greenberg a conjecturé l'existence pour tout premier p de corps nombres galoisiens de degré 2^t pour tout t (corps multiquadratiques) : cette conjecture lui permet de construire des représentations galoisiennes dans GL_n(Z_p) d'image ouverte. Cette conjecture a fait l'objet de recherches récentes. Le travail de cette thèse propose des avancées particulières concernant cette conjecture. On démontre en particulier l'existence de corps triquadratiques p-rationnels pour une infinité de premier p.

For a number field K and a prime p, let M denote its maximal non-ramified outside p pro-p-extension. The field K is said to be p-rational when the Galois group of the extension M/K is a free pro-p-group. This simplifying hypothesis concerning the behaviour of the prime p regarding the field K is conjectured to be verified for almost all primes p. The notion has been studied since the eighties, in particular by G. Gras, T. Nguyen Quang Do, J.-F. Jaulent, A. Movahhedi and their students. In 2016, R. Greenberg conjectured the existence, for every prime p, of a Galois number field of degree 2^t for every t (multiquadratic fields) : this conjecture allows him to build Galois representations in GL_n(Z_p) with open image. This conjecture has been lately investigated by manu authors. This thesis proposes special improvements regarding this conjecture. In particular, we prove the existence of triquadratic p-rational fields for infinitely many primes p.