Estimation d'erreur a posteriori pour l'approximation de problèmes Laplaciens fractionnaires et applications en poro-élasticité

A posteriori error estimation for finite element approximations of fractional Laplacian problems and applications to poro-elasticity

• Auteur / Autrice : Raphaël Bulle
• Direction : Franz Chouly, Stéphane Pierre Alain Bordas, Alexei Lozinski
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/03/2022
• Etablissement(s) : Bourgogne Franche-Comté en cotutelle avec Université du Luxembourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon (Besançon) - Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation : Université de Franche-Comté (1971-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Francis
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jack S. Hale, Roland Becker
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Martin Vohralík, Andrea Bonito

Mots clés

Mots clés contrôlés

Poroélasticité

Équations aux dérivées partielles

Éléments finis, Méthode des

Mots clés libres

Mathématiques appliquées

Estimation d'erreur

Equations aux dérivées partielles fractionnaires

Applied mathematics

Finite element methods

Error estimation

Partial differential equations

Fractional partial differential equations

Poro-Elasticity

Résumé

Ce manuscrit traite de l'estimation d'erreur a posteriori pour les discretisation par méthodes éléments finis d'équations aux dérivées partielles standard et fractionnaire, ainsi que d'une application du calcul fractionnaire à la modélisation du ménisque humain via les équations de poro-élasticité.Dans l'introduction, nous donnons un aperçu de la littérature concernant l'estimation d'erreur a posteriori pour les méthodes éléments finis et concernant les méthodes de raffinement de maillage adaptatif.Nous donnons également un aperçu de la littérature concernant les équations aux dérivées partielles fractionnaires et la dérivée fractionnaire de Caputo ainsi que ses applications en diffusion anormale.Une attention particulière sera donnée à l'état de l'art de l'estimateur d'erreur de Bank-Weiser ainsi qu'aux méthodes d'estimation d'erreur a posteriori pour le Laplacien fractionnaire spectral.Le reste du manuscrit s'organise comme suit.Le Chapitre 1 concerne une preuve de la fiabilité de l'estimateur de Bank-Weiser pour des problèmes tridimensionnels discretisés à l'aide des éléments de Lagrange linéaires. Ce résultat est une extension d'un résultat existant dans la littérature.Dans le Chapitre 2 nous présentons un étude numérique de l'estimateur de Bank-Weiser.Nous fournissons une nouvelle implémentation de cet estimateur dans le logiciel éléments finis FEniCS, fonctionnant en parallèle.Nous appliquons notre code à une variété de problèmes elliptiques, plusieurs problèmes de Poisson bidimensionnels et un problème d'élasticité linéaire tridimensionnel.En particulier, nous utilisons cette implémentation dans une méthode de raffinement de maillage adaptative et pour de l'estimation d'erreur en fonction objectif.De plus, nous proposons des études de la convergence de ces méthodes ainsi qu'une étude du temps de calcul de la méthode d'estimation d'erreur lorsqu'elle est effectuée en parallèle.Dans le Chapitre 3 nous définissons un nouvel estimateur a posteriori pour la quantification de l'erreur en norme L2 lors de la discretisation par éléments finis du Laplacien fractionnaire.Nous proposons une implémentation de notre méthode dans le logiciel éléments finis FEniCS.Nous appliquons cet estimateur à des méthodes de raffinement de maillage adaptatif pour des problèmes de Poisson fractionnaires bidimensionnels et tridimensionnels.De plus, nous fournissons des résultats numériques montrant la convergence de notre méthode.Dans le Chapitre 4 nous présentons de nouveaux résultats théoriques à propos de la convergence d'une méthode d'approximation rationnelle et ses conséquences sur l'approximation de normes fractionnaires et sur l'estimation d'erreur a priori pour la semi-discrétisation du Laplacien fractionnaire spectral.Finalement, dans le Chapitre 5 nous proposons une application de l'analyse fractionnaire à l'étude du ménisque humain via les équations de poro-élasticité et la dérivée fractionnaire de Caputo.

This manuscript is concerned with a posteriori error estimation for the finiteelement discretization of standard and fractional partial differential equationsas well as an application of fractional calculus to the modeling of thehuman meniscus by poro-elasticity equations.In the introduction, we give an overview of the literature about a posteriori errorestimation for finite element methods and about adaptive mesh refinement methods.We also review the literature about fractional partial differential equationsand Caputo's fractional derivative with anomalous diffusion applications.We emphasize on the state-of-the-art of the Bank-Weiser estimator and of aposteriori error estimation for the spectral fractional Laplacian.The rest of the manuscript is organized as follows.The Chapter 1 is concerned with a proof of the reliability of theBank-Weiser estimator for three-dimensional problems discretized with linearLagrange finite elements. This result is an extension of a previous result fromthe literature.In Chapter 2 we present a numerical study of the Bank-Weiserestimator.We provide a novel implementation of the estimator in the FEniCS finiteelement software and working in parallel.We apply our code to a variety of elliptic equations, several differenttwo-dimensional Poisson problems and a three-dimensional linear elasticityproblem.In particular, we use our implementation into an adaptive mesh refinement method anda goal-oriented error estimation method.In addition we provide convergence studies for these methods as well as atimescale study of our error estimation method when performed in parallel.In Chapter 3 we derive a novel a posteriori estimator for theL2 error induced by the finite element discretization of the fractionalLaplacian operator.We provide an implementation of our method in the FEniCS finite elementsoftware.We apply our estimator to an adaptive refinement method for two-dimensional andthree-dimensional fractional Poisson equations.In addition, we provide numerical results on the convergence of this method.In Chapter 4 we present new theoretical results on theconvergence of a rational approximation method with consequences on theapproximation of fractional norms and a priori error estimation of the semi-discretization of the spectral fractional Laplacian.Finally, in Chapter 5 we provide an application of fractionalcalculus to the study of the human meniscus via poro-elasticity equations and the Caputo derivative.