Thèse soutenue

Systèmes de Wigner à partir des premiers principes

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Auteur / Autrice : Miguel Escobar Azor
Direction : Arjan BergerStefano Evangelisti
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique de la Matière
Date : Soutenance le 13/12/2022
Etablissement(s) : Toulouse 3
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences de la Matière (Toulouse)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de chimie et physique quantiques (Toulouse ; 2007-....)
Jury : Président / Présidente : Phuong Mai Dinh
Examinateurs / Examinatrices : Ivo Souza
Rapporteurs / Rapporteuses : Neil Drummond, Lorenzo Maschio

Résumé

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Cette thèse a pour but d'étudier la localisation de Wigner à de très faibles densités. Il y a près d'un siècle, Eugène Wigner a prédit qu'un système constitué d'électrons en interaction dans un fond uniforme neutralisant formerait une structure cristalline à une densité suffisamment faible, les électrons étant localisés sur les sites du réseau. Son argument peut être compris en considérant la dépendance des énergies cinétique et répulsive par rapport au rayon de Wigner-Seitz, qui est le rayon d'une sphère contenant, en moyenne, un électron. Alors que l'énergie cinétique est égale à l'inverse du carré du rayon de Wigner-Seitz, l'énergie répulsive est égale à l'inverse du rayon de Wigner-Seitz. Par conséquent, dans la limite de faible densité (grand rayon de Wigner-Seitz), l'hamiltonien est dominé par l'énergie répulsive, ce qui conduit les électrons à se localiser dans l'espac formant ce que l'on appelle un cristal de Wigner. De manière plus générale, on parle de localisation de Wigner lorsque les électrons se localisent en raison de la répulsion électron-électron. Pour quelques systèmes électroniques, on parle également de molécule de Wigner. Pour étudier la localisation de Wigner, nous avons réalisé trois études corrélées. La première d'entre elles consiste à confiner deux électrons dans un anneau. Pour ce faire, nous travaillons avec des orbitales gaussiennes uniformément distribuées et égales à M comme ensemble de base et calculons les énergies et la fonction d'onde par diagonalisation exacte de l'hamiltonien, ce qui donne des résultats exacts pour un ensemble de base donné. Nous nous sommes limités à deux électrons car cela est suffisant pour observer la localisation de Wigner tout en nous permettant d'obtenir des résultats numériques exacts par diagonalisation exacte du hamiltonien. Nous avons vérifié notre approche et sa mise en œuvre en comparant les résultats analytiques pour un électron confiné dans un anneau strictement 1D. Pour ce cas, nous avons également analysé la localisation de Wigner par plusieurs indicateurs possibles, notamment la matrice de densité réduite à deux corps, le tenseur de localisation et l'entropie particule-trou. Nous avons observé la localisation de Wigner dans la matrice de densité réduite à deux corps et le tenseur de localisation. En revanche, la localisation de Wigner ne peut pas être facilement détectée dans l'entropie des trous de particules. Dans l'intention de passer à des dimensions supérieures, nous avons formulé les conditions limites de Clifford, qui consistent à définir une supercellule de dimension d, puis à modifier sa topologie en une topologie toroïdale en joignant les côtés opposés de la cellule sans déformation. Cette procédure permet d'obtenir une supercellule dont la topologie est celle d'un tore de d-Clifford, qui est un espace euclidien réel plat et fermé de d-dimensions intégré dans un espace euclidien complexe de d-dimensions. Dans ce cadre, un cercle et une ligne sont topologiquement équivalents. Nous explorerons la symétrie de translation du système, ce qui nous permettra d'évaluer efficacement les intégrales à un et deux électrons. Pour valider notre approche, nous avons développé un modèle semi-classique qui devient exact aux faibles densités et nous avons comparé les énergies des deux approches. Étant donné que la forte corrélation des électrons entraîne la localisation de Wigner, l'étude ab-initio de ce phénomène nécessite des approches de chimie quantique précises telles que l'interaction de configuration complète ou des méthodes multi-configurationnelles telles que le champ autoconsistant de l'espace actif complet pour obtenir des énergies et des fonctions d'onde très précises dans les régimes de faible et de forte corrélation. Dans cette deuxième étude et la première, nous utiliserons la diagonalisation exacte de l'hamiltonien. Enfin, nous présenterons la généralisation de notre approche aux systèmes à N-électrons.