Sur l'utilisation des relations d'entrelacement dans l'étude des générateurs de Markov auto-adjoints. : Application aux inégalités spectrales et fonctionnelles et à l'analyse de sensibilité

On the use of intertwining relations in the study of self-adjoint Markov generators : Application to spectral and functional inequalities and to sensitivity analysis

• Auteur / Autrice : Clément Steiner
• Direction : Patrick Cattiaux, Aldéric Joulin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 08/07/2022
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Clémentine Prieur, Nathaël Gozlan
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Djalil Chafaï, Pierre-André Zitt

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse fonctionnelle

Probabilités

Mots clés libres

Probabilités

Inégalités fonctionnelles

Analyse fonctionnelle

Analyse de sensibilité

Probability

Functional inequalities

Functional analysis

Sensitivity analysis

Résumé

Cette thèse s'inscrit dans une série de travaux menés par Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et collaborateurs, dont le but est d'appliquer des relations d'entrelacement pour obtenir des informations sur certains générateurs de Markov. Le présent travail traite de trois propriétés plus spécifiquement : les inégalités de Poincaré, de Sobolev logarithmiques et les estimations spectrales, pour les générateurs de Markov auto-adjoints. Les deux inégalités ci-dessus sont des outils classiques d'analyse infini-dimensionnelle, qui présentent des liens intéressants avec les générateurs sus-mentionnés et les propriétés de la mesure de Boltzmann-Gibbs associée. Le premier chapitre propose une approche basée sur les semi-groupes de Feynman-Kac pour déduire de nouvelles estimations en relation avec l'inégalité de Sobolev logarithmique. Les résultats sont obtenu en utilisant le lien entre générateurs et processus stochastiques, plus particulièrement via un théorème de représentation des semi-groupes de Feynman-Kac. Deux exemples illustrent la méthode. Le deuxième chapitre pousse la réflexion amorcée par l'inégalité de Poincaré sur l'estimation des valeurs propres desdits générateurs en proposant une vision algébrique pour l'estimation de ces dernières. Ce travail fait écho à un article récent d'Emanuel Milman sur le sujet, où une approche par transport optimal était privilégiée. Les multiplicités associées sont également discutées, en lien notamment avec de récents travaux de Franck Barthe et Boaz Klartag. Enfin, le dernier chapitre traite d'une application des inégalités de Poincaré à l'analyse de sensibilité, où ces dernières sont utilisées pour faire un lien entre deux familles d'indices de sensibilité. Une méthode d'estimation en lien avec cette inégalité en dimension deux est proposée, basée sur des techniques d'éléments finis. Cette approche est amplement détaillée et implémenté sur l'exemple classique d'un modèle de crue simplifié.

This thesis is part of a series of works carried out by Aldéric Joulin, Michel Bonnefont et alius, which aims at using intertwining relations to infer properties of some Markov generators. The present work deals specifically with three properties : Poincaré inequalities, logarithmic Sobolev inequalities and spectral estimates. Both above inequalities are widely use tools in infinite-dimensional analysis, that relate to the latter generators and underlying Boltzmann-Gibbs invariant distribution. In the first chapter, a method based on Feynman-Kac semigroups is proposed to infer new estimates, in relation to the logarithmic Sobolev inequality. The connexion between generators and stochastic processes is explored via a representation theorem for Feynman-Kac semigroups. The method is illustrated on two examples. In the second chapter, an algebraic approach to the estimation of eigenvalues of the aforementioned generators is discussed. This work echoes a related recent article by Emanuel Milman, in which he used optimal transport results in this very purpose. Multiplicities are addressed as well, in relation to the recent work of Franck Barthe and Boaz Klartag. In the last chapter, the relation between Poincaré inequalities and sensitivity analysis is investigated, particularly in order to compare two types of sensitivity indices. An estimation method related to this inequality is developed in dimension two, using finite elements methods. This approach is explained in much details and implemented on a simplified flood model.