Optimisation polynomiale pratique grâce à des certificats de positivité avec et sans dénominateurs
Auteur / Autrice : | Ngoc Hoang Anh Mai |
Direction : | Victor Magron, Jean-Bernard Lasserre |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 21/09/2022 |
Etablissement(s) : | Toulouse 3 |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (Toulouse ; 1968-....) |
Jury : | Président / Présidente : Kim-Chuan Toh |
Examinateurs / Examinatrices : Monique Laurent, David Russell Luke, Jie Wang | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Thorsten Theobald, Amir Ali Ahmadi |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Les certificats de positivité ou Positivstellens"atze fournissent des représentations de polynômes positifs sur des ensembles semialgébriques de basiques, c'est-à-dire des ensembles définis par un nombre fini d'inégalités polynomiales. Le célèbre Positivstellensatz de Putinar stipule que tout polynôme positif sur un ensemble semialgébrique basique fermé dollarSdollar peut être écrit comme une combinaison pondérée linéaire des polynômes décrivant dollarSdollar, sous une certaine condition sur dollarSdollar légèrement plus forte que la compacité. Lorsqu'il est écrit comme ceci, il devient évident que le polynôme est positif sur dollarSdollar, et donc cette description alternative fournit un certificat de positivité sur dollarSdollar. De plus, comme les poids polynomiaux impliqués dans le Positivstellensatz de Putinar sont des sommes de carrés (SOS), de tels certificats de positivité permettent de concevoir des relaxations convexes basées sur la programmation semidéfinie pour résoudre des problèmes d'optimisation polynomiale (POP) qui surviennent dans diverses applications réelles, par exemple dans la gestion des réseaux d'énergie et l'apprentissage automatique pour n'en citer que quelques unes. Développée à l'origine par Lasserre, la hiérarchie des relaxations semidéfinies basée sur le Positivstellensatz de Putinar est appelée la emph{hiérarchie Moment-SOS}. Dans cette thèse, nous proposons des méthodes d'optimisation polynomiale basées sur des certificats de positivité impliquant des poids SOS spécifiques, sans ou avec dénominateurs.