Espaces de lacets gradués en caractéristique mixte et algèbre de de Rham-Witt

Graded loospaces in mixed characteristics and de Rham-Witt algebra

• Auteur / Autrice : Ludovic Monier
• Direction : Bertrand Toën, Marco Robalo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 30/06/2022
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Déglise
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Wiesława Nizioł, Mauro Porta, Joost Nuiten
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nick Rozenblyum, Carlos Simpson

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie cristalline

Espaces de lacets

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique dérivée

Cohomologie cristalline

Caractéristique mixte

Complexe de de Rham-Witt

Espace de lacets

Frobenius

Derived algebraic geometr

Crystalline cohomology

Mixed caracteristic

De Rham-Witt complex

Loopspaces

Frobenius

Résumé

Cette thèse a pour but d'étudier une variation de la construction de l'espace des lacets gradués pour les schémas dérivés de caractéristique mixte, lorsqu'ils sont munis d'un relèvement du Fobenius. Nous développons une théorie de relèvement dérivé du Frobenius sur un champ dérivé : c'est un analogue homotopique de la notion de structures pour un anneau commutatif. La construction d'un espace de lacets gradués est la première étape d'une définition du complexe de De Rham-Witt pour un schéma dérivé. Dans ce contexte, un lacet est donné par l'action d'une ''cercle cristallin'', qui est un analogue formel du cercle topologique, muni d'un endomorphisme naturel donné par la multiplication par p. Dans ce langage, un complexe de Dieudonné dérivé peut être vu comme un module gradué muni d'une action du cercle cristallin. Nous développons aussi une notion de saturation d'un complexe de Dieudonné dérivé et nous montrons qu'elle coïncide avec la notion classique de saturation d'un complexe de Dieudonné dans le cas d'un anneau commutatif sans p-torsion. Nous avons également inclus une courte partie sur l'étude des fonctions graduées d'un champ linéaire : nous prouvons que les fonctions de poids 1 d'un champ linéaire retrouvent le complexe quasi-cohérent qui définit le champs, sous certaines conditions. Nous donnons également une description complète des fonctions graduées sur un champs linéaire en caractéristique nulle. Enfin, nous énonçons de nombreuses perspectives de développement de notre théorie de lacets gradués avec relèvement du Frobenius. En particulier, nous décrivons une théorie des formes symplectiques basée sur notre construction du complexe de de Rham-Witt et une théorie de feuilletages de Dieudonné sur un schéma dérivé, basée sur la notion de relèvement du Frobenius.

In this thesis, we study a variation of the graded loop space construction for mixed graded derived schemes endowed with a Frobenius lift. We develop a theory of derived Frobenius lifts on a derived stack which are homotopy theoretic analogues of structures for commutative rings. This graded loopspace construction is the first step towards a de�finition of the de Rham-Witt complex for derived schemes. In this context, a loop is given by an action of the ''crystalline circle'', which is a formal analogue of the topological circle, endowed with its natural endomorphism given by multiplication by p. In this language, a derived Dieudonné complex can be seen as a graded module endowed with an action of the crystalline circle. We also develop a theory of saturation of a derived Dieudonné complex which coincides with the one previously defined for p-torsion-free commutative rings. We include a short section on the study of graded functions of linear stacks where we prove that the 1-weighted functions on a linear stack recover the quasi-coherent sheaf defining the stack, under mild assumptions. We also give a full description of graded functions on a linear stack when working in characteristic zero. Finally, we give many directions for further developments regarding graded loopspaces and Frobenius lifts. More specifically, we outline a theory of symplectic forms based on our construction of the de Rham-Witt complex and similarly, a theory of Dieudonné foliations using derived Frobenius lifts.