Transitions de phase dans les groupes aléatoires : sous-groupes libres et 2-complexes de van Kampen

Phase transitions in random groups : free subgroups and van Kampen 2-complexes

• Auteur / Autrice : Tsung-Hsuan Tsai
• Direction : Thomas Delzant
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/07/2022
• Etablissement(s) : Strasbourg
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
• Jury : Président / Présidente : Frédérique Bassino
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Goulnara N. Arzhantseva, François Guéritaud
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Breuillard, Danny Calegari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Possibilités, Théorie des

Théorie des groupes

Mots clés libres

Groupe aléatoire

Transition de phase

Formule d’intersection

Freiheitssatz

Diagramme de van Kampen

Random group

Phase transition

Intersection formula

Freiheitssatz

Van Kampen diagram

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les transitions de phase dans les groupes aléatoires à densité. Un groupe aléatoire à densité d est défini par une présentation avec m générateurs et 2m-1 puissance dl relations aléatoires, où l est la longueur maximale des relations. Nous avons deux résultats principaux : un sur le problème des sous-groupes libres et l'autre sur l'existence des 2-complexes de van Kampen. Pour tout entier r entre 1 et m-1, nous trouvons une transition de phase à la densité d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)} : Si d>dr, alors les r premiers générateurs engendrent le groupe entier ; si d<d(r), alors les r premiers générateurs engendrent un sous-groupe libre. Ce résultat donne de nouveaux exemples de présentations de groupes satisfaisant la propriété de Freiheitssatz, avec une grande variété de longueurs de relations. Pour chaque 2-complexe d'une forme géométrique donnée, nous donnons une densité critique qui caractérise l'existence d'un 2-complexe de van Kampen dont le 2-complexe sous-jacent est celui donné. Afin de prouver ce résultat, nous étudions en détail la formule d'intersection pour les sous-ensembles aléatoires et donnons une version multidimensionnelle de cette formule.

In this thesis, we study phase transitions in random groups at density. A random group at density d is defined by a presentation with m generators and 2m-1 powers dl random relations, where l is the maximal length of the relations. We have two main results: one on the free subgroup problem and the other on the existence of van Kampen 2-complexes. For any integer r between 1 and m-1, we find a phase transition at the density d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)}: If d>d(r), then the r first generators generate the whole group; if d<d(r), then the r first generators generate a free subgroup. This result gives new examples of group presentations satisfying the Freiheitssatz property, with a wide variety of relation lengths. For each 2-complex of a given geometric form, we give a critical density which characterizes the existence of a van Kampen 2-complex whose underlying 2-complex is the given one. In order to prove this result, we study in detail the intersection formula for random subsets and give a multidimensional version of this formula.