Techniques d'accélération de l'algorithme Pararéel pour résoudre certaines équations différentielles

Acceleration techniques of the Parareal algorithm for solving some differential equations

• Auteur / Autrice : Van-Thanh Nguyen
• Direction : Laura Grigori
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 31/05/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Yvon Maday
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Tromeur-Dervout, Sever Adrian Hirstoaga
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Omnes, Matthias Bolten

Mots clés

Mots clés contrôlés

Décomposition de domaines (mathématiques)

Fonction de Schwarz

GMRES (mathématiques)

Mots clés libres

Pararéel

Préconditionneur Schwarz additif à deux niveaux en temps

MGRIT

GMRES

Expansion asymptotique à deux échelles

Technique de déflation

Factorisation révélatrice de rang fort

Stratégie de pivotage par tournoi

Parareal

Two-level additive Scwarz in time preconditioner

MGRIT

GMRES

Two-scale asymptotic expansion

Deflation technique

Strong Rank Revealing factorization

Tournament pivoting strategy

Résumé

Dans cette thèse, nous présentons d'abord une interprétation du pararéel en tant que préconditionneur de décomposition de domaine à deux niveaux appelé préconditionneur additif Schwarz en temps à deux niveaux et, sur cette base, une variante qui accélère la convergence en utilisant une procédure de type GMRES. Les connexions à la généralisation MGRIT du pararéel sont présentées. L'interprétation nous permet de dériver des résultats de convergence pour de multiples variations de la méthode où nous varions le nombre et l'ordre des itérations de niveau grossier et fin. Nous présentons également l'idée d'utiliser un modèle différent appelé le modèle réduit qui est basé sur l'expansion asymptotique à deux échelles pour le propagateur grossier dans un cadre pararéel. Cette stratégie de couplage est étudiée pour résoudre efficacement les ODEs oscillatoires singulièrement perturbés qui sont caractéristiques d'une équation de Vlasov à six dimensions. La stratégie de couplage montre sa précision et son efficacité dans diverses expériences numériques avec un taux de convergence uniforme. Dans la dernière partie de la thèse, nous étudions l'accélération de GMRES en utilisant une technique de déflation des plus petites valeurs singulières. Nous présentons une nouvelle méthode de déflation utilisant le QR parcimonieux, en particulier la factorisation révélatrice de rang fort avec stratégie de pivotage par tournoi. La stratégie de couplage montre que les plus petites valeurs singulières proches de zéro sont remplacées par des plus grandes. En outre, la combinaison entre la déflation et le préconditionneur Block Jacobi se traduit par une convergence beaucoup plus rapide de GMRES.

In this thesis, we first present an interpretation of parareal as a two-level domain decomposition preconditioner so-called the two-level additive Schwarz in time preconditioner and, based on that, a variant that accelerates convergence by using a GMRES-type procedure. Connections to the MGRIT generalization of parareal are shown. The interpretation allows us to derive convergence results for multiple variations of the method where we vary the number and order of coarse and fine level iterations. We also present the idea of using a different model so-called the reduced model which is based on the two-scale asymptotic expansion for the coarse propagator in parareal framework. This coupling strategy is studied for efficiently solving oscillatory singularly perturbed ODEs which are characteristics of a six-dimensional Vlasov equation. The coupling strategy shows its accuracy and efficiency in various numerical experiments with a uniform convergence rate. In the last part of the thesis, we study the acceleration of GMRES using a deflation technique of the smallest singular values. We present a new deflation method using sparse QR, especially Strong Rank Revealing factorization with tournament pivoting strategy. The coupling strategy shows that the smallest singular values close to zero are replaced by larger ones. Furthermore, the combination between the deflation and the Block Jacobi preconditioner results in much faster convergence of GMRES.