Vers une présentation de Bernstein de la catégorie de Hecke affine

Towards a Bersntein presentation of the affine Hecke category

• Auteur / Autrice : Leonardo Maltoni
• Direction : Daniel Juteau, Geordie Williamson
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/12/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Raphaël Rouquier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michela Varagnolo, Bernhard Keller, Anne-Laure Thiel
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Wolfgang Soergel, Anthony M. Licata

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Weyl

Groupes modulaires

Représentations de groupes

Hecke, Algèbres de

Mots clés libres

Théorie des représentations modulaires

Algèbres de Hecke

Groupes algébriques

Faisceaux de Wakimoto

Complexes de Rouquier

Générateurs et relations

Modular representation theory

Hecke algebras

Algebraic groups

Wakimoto sheaves

Rouquier comlplexes

Generators and relations

Résumé

L'algèbre de Hecke affine admet une sous-algèbre commutative remarquable, qui correspond au réseau des co-racines dans le groupe de Weyl affine. Sa nature est encodée dans la présentation de Bernstein et contient d'importantes informations sur les représentations de l'algèbre. On considère des catégorifications de l'algèbre de Hecke, notamment la catégorie diagrammatique ou celle des faisceaux à parité équivariants sur la variété des drapeaux affine. Cette sous-algèbre correspond alors à une classe de complexes (dans la catégorie homotopique) appelés faisceaux de Wakimoto. Dans cette thèse on étudie ces objets en type A1 affine. Premièrement on détermine complètement les groupes d'extensions entre eux sur les corps de caractéristique zéro. Deuxièmement on décrit un modèle dg qui permet de calculer ces groupes dans la catégorie antisphérique, pour des coefficients arbitraires. Pour faire cela, on interprète ces objets comme des complexes de Rouquier. Sur les corps de caractéristique zéro on peut calculer leur complexes minimaux et les utiliser pour déterminer les groupes d'extensions. En général, on considère une version dg de la catégorie des complexes de Rouquier, où les groupes d'extension sont encodés dans la cohomologie des dg modules des morphismes. Pour étudier ces derniers, on étend la présentation diagrammatique de la catégorie de Hecke à cette catégorie dg. Un résultat clé est une réduction générale des complexes de Rouquier. Plus précisément, pour un anneau de coefficients arbitraire, ces complexes admettent des représentants dans la catégorie homotopique qui sont considérablement plus simples que les candidats standards.

The affine Hecke algebra has a remarkable commutative subalgebra corresponding to the coroot lattice inside the affine Weyl group. Its nature is encoded in the Bernstein presentation and reveals some fundamental representation theoretic properties of the Hecke algebra. We consider categorifications of this algebra, namely the diagrammatic category or the category of equivariant parity sheaves on the affine flag variety. Then this subalgebra corresponds to a class of complexes (in the homotopy category) called Wakimoto sheaves. In this thesis we study these objects in affine type A_1. Firstly we determine completely the extension groups between them over characteristic zero fields. Secondly we describe a dg model which allows us to compute these groups in the antispherical category for arbitrary coefficients. To do so, we interpret these objects as Rouquier complexes. Over characteristic zero fields one can compute their minimal subcomplexes and use them to determine the extension groups. In general, we considera dg version of the category of Rouquier complexes, where the extension groups are encoded in the cohomology of the dg modules of morphisms. To study the latter, we extend the diagrammatic presentation of the Hecke category to one for this dg category. A key result is a general reduction of Rouquier complexes. Namely, over an arbitrary coefficient ring, they admit representatives in the homotopy category which are considerably simpler than the naive ones.