Propriétés ergodiques des horosphères sur les variétés sans points conjugués

Ergodic properties of horospheres on manifolds without conjugate points

• Auteur / Autrice : Sergi Burniol Clotet
• Direction : Yves Coudène
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Françoise Dal'Bo
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Viviane Baladi, François Ledrappier, Matilde Martínez, Samuel Tapie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gerhard Knieper, Marc Peigné

Mots clés

Mots clés contrôlés

Flots (dynamique différentiable)

Systèmes dynamiques

Surfaces (mathématiques)

Théorie ergodique

Mots clés libres

Flot horocyclique

Courbure négative ou nulle

Horosphères

Horocyclic flow

Nonpositive curvature

Horospheres

Résumé

Nous étudions les propriétés ergodiques des horosphères sur certaines classes de variétés sans points conjugués. Notre but est de généraliser plusieurs résultats déjà connus pour les variétés à courbure négative. Nous prouvons que, pour une grande classe de variétés de rang 1 à courbure négative ou nulle, certaines horosphères sont équidistribuées sous l'action du flot géodésique vers la mesure de Bowen-Margulis. Dans les surfaces à courbure négative ou nulle, on définit un flot horocyclique sur l'ensemble des horocycles contenant un vecteur de rang 1 récurrent sous l'action du flot géodésique et nous montrons que ce flot horocyclique a une unique mesure de probabilité invariante. Enfin, nous montrons que tout flot horocyclique sur une surface compacte de genre supérieur sans points conjugués et avec fibrés de Green continus est uniquement ergodique. Notre approche s'appuie sur des méthodes spécifiques aux flots géodésiques telles que le bord à l'infini et la construction de la mesure de Bowen-Margulis via la théorie de Patterson-Sullivan. L'ingrédient principal du théorème d'équidistribution est le mélange de la mesure de Bowen-Margulis. Concernant les flots horocycliques, nos résultats sont obtenus grâce à la définition d'une paramétrisation similaire à celle utilisée par B. Marcus en courbure négative.

We study the ergodic properties of the horospheres on certain classes of manifolds without conjugate points. Our goal is to generalize several results already known for negatively curved manifolds. We prove that, for a large class of nonpositively curved rank 1 manifolds, certain horospheres are equidistributed under the action of the geodesic flow towards the Bowen-Margulis measure. In the case of nonflat nonpositively curved surfaces, we define a horocyclic flow on the set of horocycles containing a rank 1 vector that is recurrent under the action of the geodesic flow and we prove that this horocyclic flow has a unique invariant probability measure. Finally, we show that any horocyclic flow on a compact higher genus surface without conjugate points and with continuous Green bundles is uniquely ergodic. Our approach is based on methods specific to geodesic flows such as the boundary at infinity and the construction of the Bowen-Margulis measure via the Patterson-Sullivan theory. The main ingredient in the equidistribution theorem is the mixing of the Bowen-Margulis measure. Regarding the horocyclic flows, our results are obtained thanks to the definition of a uniformly expanding parametrization similar to the one used by B. Marcus in negative curvature.