Propriétés ergodiques des horosphères sur les variétés sans points conjugués
Auteur / Autrice : | Sergi Burniol Clotet |
Direction : | Yves Coudène |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 16/12/2022 |
Etablissement(s) : | Sorbonne université |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....) |
Jury : | Président / Présidente : Françoise Dal'Bo |
Examinateurs / Examinatrices : Viviane Baladi, François Ledrappier, Matilde Martínez, Samuel Tapie | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Gerhard Knieper, Marc Peigné |
Mots clés
Résumé
Nous étudions les propriétés ergodiques des horosphères sur certaines classes de variétés sans points conjugués. Notre but est de généraliser plusieurs résultats déjà connus pour les variétés à courbure négative. Nous prouvons que, pour une grande classe de variétés de rang 1 à courbure négative ou nulle, certaines horosphères sont équidistribuées sous l'action du flot géodésique vers la mesure de Bowen-Margulis. Dans les surfaces à courbure négative ou nulle, on définit un flot horocyclique sur l'ensemble des horocycles contenant un vecteur de rang 1 récurrent sous l'action du flot géodésique et nous montrons que ce flot horocyclique a une unique mesure de probabilité invariante. Enfin, nous montrons que tout flot horocyclique sur une surface compacte de genre supérieur sans points conjugués et avec fibrés de Green continus est uniquement ergodique. Notre approche s'appuie sur des méthodes spécifiques aux flots géodésiques telles que le bord à l'infini et la construction de la mesure de Bowen-Margulis via la théorie de Patterson-Sullivan. L'ingrédient principal du théorème d'équidistribution est le mélange de la mesure de Bowen-Margulis. Concernant les flots horocycliques, nos résultats sont obtenus grâce à la définition d'une paramétrisation similaire à celle utilisée par B. Marcus en courbure négative.