Concept learning in mathematics : from straight lines to geodesics
De l'apprentissage des nouveaux concepts en mathématiques, le cas des géodésiques
Résumé
Although conceptual learning is at the heart of cognitive science, the ability to track signs of progress by studying the fine dynamics of learning has not been achieved, especially for a complex mathematical concept. This thesis aims to study the development of a geometric concept, geodesics, in the mind, and to describe the state of knowledge at three stages of learning: before, during, and after learning. In the first part of this thesis, I present results from a new paradigm that allows dynamic learning to be observed in a single session in the laboratory. This single-session paradigm allows for tracking the dynamics of learning, as well as measuring aspects of subjective and objective performance.Chapter 1 explores the content of intuitions about straight lines through a qualitative study of definitions provided by participants before, during, and after learning. Chapter 2 and Chapter 3 explore the dynamics of conceptual learning: Is learning made of discrete conceptual steps, or of progressive adjustments? To try to answer this question, in Chapter 2, we go through different measures of introspection. I present a study addressing alternative models where learning mechanisms are not necessarily conscious, and where consciousness has access only to discrete jumps. In Chapter 3, I present two studies that attempt to describe the learning curve in terms of periods of progress and recession and try to develop a measure of understanding to track progress, and thus estimate the shape of the learning curve. In the second part, I further explore the intuitive roots of the non-Euclidean concept of geodesics in non-mathematicians and mathematicians. In Chapter 4, I ask whether humans are shaped to think about straight trajectories in Euclidean terms. The study in Chapter 1 set up some intuitive properties that people think of when defining the notion of a straight line. Chapter 1 presents two systematic studies that test a more precise hypothesis about the content of the notion of a line: if people tend to identify planar sections (line resulting from the intersection of a plane with any surfaces) as geodesics (on the sphere, all circles are planar sections, however, only the great circles are geodesics). This study contributes to specifying which geometry would be the closest to the way the human mind conceives space.
Bien que l'apprentissage conceptuel soit au cœur des sciences cognitives, la dynamique fine de l'apprentissage n'a pas été bien décrite, en particulier dans le cas de concepts mathématiques complexes. Cette thèse vise à étudier le développement d'un concept géométrique, les géodésiques, dans l'esprit, et à décrire l'état des connaissances à trois étapes de l'apprentissage : avant, pendant et après l'apprentissage. Dans la première partie de cette thèse, je présente les résultats d'un nouveau paradigme qui permet d'observer la progression de l'apprentissage conceptuel lors d'une seule session en laboratoire. Ce paradigme à session unique permet de suivre la dynamique de l'apprentissage, ainsi que de mesurer les aspects de la performance subjective et objective. Le premier Chapitre explore le contenu des intuitions sur les lignes droites à travers une étude qualitative des définitions fournies par les participants avant, pendant et après l'apprentissage. Le second et le troisième chapitres explorent la dynamique de l'apprentissage conceptuel : L'apprentissage est-il fait d'étapes conceptuelles discrètes, ou d'ajustements progressifs ? Pour tenter de répondre à cette question, dans le Chapitre 2, nous utilisons différentes mesures d'introspection. J'y présente une étude portant sur des modèles alternatifs où les mécanismes d'apprentissage ne sont pas nécessairement conscients, et où la conscience n'a accès qu'à des sauts discrets. Dans le Chapitre 3, je présente deux études qui tentent de décrire la courbe d'apprentissage en termes de périodes de progression et de récession et essaient de développer une mesure de la compréhension pour suivre la progression, et ainsi estimer la forme de la courbe d'apprentissage. Dans la second partie, j'explore les racines intuitives du concept non-euclidien de géodésique chez les non-mathématiciens et les mathématiciens. Dans le Chapitre 4, je me demande si les humains sont formés pour penser aux trajectoires droites en termes euclidiens. L'étude dans Chapitre 1 a établi certaines propriétés intuitives auxquelles les gens pensent lorsqu'ils définissent la notion de ligne droite. Le Chapitre 4 présente deux études systématiques qui testent une hypothèse plus précise sur le contenu de la notion de ligne : si les gens ont tendance à identifier les sections planes (ligne résultant de l'intersection d'un plan avec des surfaces quelconques) comme des géodésiques (sur la sphère, tous les cercles sont des sections planes, cependant, seuls les grands cercles sont des géodésiques). Cette étude contribue à préciser quelle géométrie serait la plus proche de la façon dont l'esprit humain conçoit l'espace.
Origine : Version validée par le jury (STAR)