Adaptation de maillage pour la résolution d'équations elliptiques appliquée aux structures quadtree/octree

Mesh adaptation for elliptic equations on quadtree/octree grids

• Auteur / Autrice : Lucas Prouvost
• Direction : Daniel Fuster, Anca Belme
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mécanique
• Date : Soutenance le 16/12/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mécaniques, acoustique, électronique et robotique de Paris (2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Jean Le Rond d'Alembert (Paris ; 2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Popinet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Le Chenadec
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Adrien Loseille, Franck Ledoux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique des fluides

Riemann, Variétés de

Équations différentielles elliptiques

Calcul adaptatif

Mots clés libres

Maillage adaptatif

Quad/octree

Équations elliptiques

AMR

Compression de maillage

Espace métrique Riemannien

Adaptive mesh

Quad/octree

Elliptic equations

AMR

Mesh compression

Riemannian metric space

Résumé

De par sa capacité à minimiser les erreurs et le temps de calcul des simulations numériques, l'adaptation de maillage est l'un des enjeux majeurs de la recherche actuelle. Dans cette thèse, nous proposons une nouvelle méthode d'adaptation de maillage appliquée aux maillages quad/octree. Après avoir introduit la notion d'espace métrique riemannien, qui permet de définir un équivalent continu aux maillages discrets, nous adaptons l'estimation de l'erreur d'interpolation basée métrique aux maillages quad/octree. En résolvant un problème d'optimisation sous contrainte, nous estimons l'erreur d'interpolation minimale qu'il est possible d'obtenir sur ces maillages, et nous l'utilisons par la suite comme critère de référence pour évaluer la performance des méthodes d'adaptation de maillage. Dans le cas de la résolution numérique d'équations elliptiques, telle l'équation de Poisson-Helmhotlz, nous montrons que minimiser l'erreur d'interpolation n'est pas toujours suffisant pour minimiser l'erreur numérique. Le minimum d'erreur obtenu sur la solution numérique est liée au taux de compression du maillage adapté -- le rapport entre la taille de ses plus petits éléments et la taille moyenne de ses éléments. En particulier, un maillage légèrement sous-optimal en terme d'erreur d'interpolation peut minimiser l'erreur totale mesurée sur une solution numérique. En se basant sur ce constat, nous proposons une estimation automatique de la taille minimale d'un maillage adaptée. Elle s'ajoute à la méthode d'adaptation comme une contrainte supplémentaire. En association avec ceci, nous présentons un estimateur d'erreur pour l'équation de Poisson-Helmholtz qui considère que l'erreur totale d'une solution numérique provient d'une propagation locale de l'erreur d'interpolation. La méthode d'adaptation ainsi obtenue est validée sur plusieurs cas-tests. Enfin, le solveur de Basilisk qui résout les équations de Navier-Stokes dans le cas incompressible repose sur la résolution d'une équation elliptique. Nous proposons donc une extension à ce cas de notre estimateur d'erreur. La méthode d'adaptation dans son ensemble est testée sur différents écoulements à différents nombres de Reynolds.

Finding an efficient and fully automated mesh adaptation method is nowadays one of the most challenging and important research subject in Computational Fluid Dynamic (CFD), as it allows to optimize the solution accuracy for the available computational resources. In this thesis, we develop a new Adaptive Mesh Refinement (AMR) method for quad/octree grids. After introducing the continuous mesh framework, a continuous representation of a discrete mesh in Riemannian metric spaces, we extend the metric-based interpolation error to the quad/octree grid structure composed with square/cubic elements. By solving an optimization problem, an estimation of the minimal interpolation error is obtained and used as a reference to assess the AMR method performances. When solving elliptic equations, such as the Poisson-Helmholtz equation, we show that the minimization of the interpolation error does not always guarantee the minimization of the numerical error. We show that the minimum on the total numerical error can be related to the mesh compression, the size ratio between the finest cell size and the mean cell size. A slightly sub-optimal mesh in terms of the interpolation error can minimize the total error of a numerical solution. Based on that, we propose an automatic estimation of the minimal element size, which acts as an additional constrain in the adaptation method. Used in combination with an error estimation method which assumes that the interpolation error propagates in a small neighbourhood around each mesh elements due to the discretization of the equation, the proposed method improves the AMR efficiency, as assessed on several test-cases. Finally, based on the observation that the incompressible Navier-Stokes solver of Basilisk relies on the resolution of an elliptic equation, an extension of the error estimate is proposed for the incompressible Navier-Stokes equations. The obtained AMR method is tested on several flow configurations, for flow at various Reynolds numbers.