Cohomologie cohérente et géométrie de la fibre spéciale des variétés de Siegel

Coherent cohomology and geometry of the special fiber of Siegel varieties

• Auteur / Autrice : Thibault Alexandre
• Direction : Benoît Stroh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-François Dat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Giada Grossi, Yohan Brunebarbe, Vincent Pilloni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mladen Dimitrov, George Boxer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cohomologie

Shimura, Variétés de

Programme de Langlands

Théorie des nombres

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Théorie des nombres

Programme de Langlands

Variétés de Shimura

Caractéristique positive

Algebraic geometry

Number theory

Langlands Program

Shimura varieties

Positive characteristic

Résumé

Cette thèse porte sur la cohomologie cohérente et la géométrie de certaines variétés de Shimura en caractéristique première p. Plus précisément, nous considérons les variétés de Siegel avec un niveau hyperspécial en p. Nous commençons par établir des résultats de positivité pour certains fibrés automorphes. Ces résultats nécessitent l'introduction d'une nouvelle notion de positivité pour les fibrés vectoriels plus faible que l'amplitude mais plus forte que la nefness et la bigness. Ensuite nous montrons des résultats d'annulations pour la cohomologie cohérente à coefficients dans certains fibrés automorphes. Les poids accessibles avec notre méthode peuvent être calculés à l'aide d'un algorithme implémenté sur SageMath. Puis nous étudions le défaut d'hyperbolicité en essayant de caractériser les sous-variétés de type général. Nous montrons en particulier qu'en dessous d'une certaine codimension, toutes les sous-variétés de la variété de Siegel sont de type général. Enfin, inspiré par un travail récent de Boxer et Pilloni, nous redéfinissons un opérateur de Hecke à l'aide de la théorie des foncteurs de Schur et nous montrons qu'il est auto-dual pour la dualité de Serre.

This thesis deals with the coherent cohomology and geometry of certain Shimura varieties in prime characteristic p. More precisely, we consider Siegel varieties with a hyperspecial level at p. We start by establishing positivity results for some automorphic bundles. These results require the introduction of a new positivity notion for vector bundles weaker than amplitude but stronger than nefness and bigness. Then we show vanishing results for the coherent cohomology with coefficients in some automorphic bundles. The weights that are accessible with our method can be computed with an algorithm implemented on SageMath. Then we study the failure of hyperbolicity by trying to characterize the subvarieties of general type. In particular, we show that below a certain codimension, all subvarieties of the Siegel variety are of general type. Finally, inspired by a recent work of Boxer and Pilloni, we redefine a Hecke operator with the theory of Schur functors and we show that it is self-dual for Serre duality.