Optimisation polynomiale certifiée basée sur les décompositions exactes de la somme des carrés

Certified Polynomial Optimization Based on Exact Sum of Squares Decompositions

• Auteur / Autrice : Trung-Hieu Vu
• Direction : Mohab Safey El Din, Victor Magron
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 09/12/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6 (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Stef Graillat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lihong Zhi, Simone Naldi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bernard Mourrain, Tiên So'n Phạm

Mots clés

Mots clés contrôlés

Décomposition (mathématiques)

Algorithmes optimaux

Approximation polynomiale

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Optimisation polynomiale

Certificats exacts

Positivité

Somme des carrés

Programmation semi-définie

Nombres rationnels

Polynomial optimization

Exact certificates

Positivity

Résumé

L'objectif de cette thèse est de calculer des certificats exacts de non-négativité pour des polynômes. Ces certificats sont basés sur des décompositions de la somme des carrés avec des coefficients rationnels. Nous fournissons des algorithmes symboliques pour calculer les décompositions de la somme des carrés modulo l'idéal gradient des polynômes multivariés réels non négatifs sous une condition de généricité. Ces algorithmes peuvent s'attaquer à un large éventail de problèmes qui sont hors de portée des algorithmes de l'état de l'art. Nous calculons également les sommes des décompositions des carrés hermitiens pour les polynômes trigonométriques complexes univariés qui sont positifs sur le cercle unité avec des coefficients gaussiens. De plus, nous analysons la complexité binaire de ces algorithmes et déduisons les limites de taille binaire de ces certificats. Enfin, nous implémentons ces algorithmes dans le système de calcul formel Maple et l'environnement de programmation Julia et nous évaluons leurs performances sur quelques benchmarks standards.

The aim of this thesis is to compute exact certificates of non-negativity for polynomials based on sum of squares decompositions with rational coefficients. We provide symbolic algorithms to compute sum of squares decompositions modulo the gradient ideal of non-negative real multivariate polynomials under a genericity condition. These algorithms can tackle a large range of problems which are out of reach for state-of-the-art algorithms. We also compute sums of Hermitian squares decompositions for complex trigonometric univariate polynomials that are positive on the unit circle with Gaussian coefficients. Moreover, we analyze the bit complexity of these algorithms and deduce bitsize bounds of such certificates. Finally, we implement these algorithms in the computer algebra system Maple and the programming environment Julia and evaluate their performance on some standard benchmarks.