Thèse soutenue

Optimisation polynomiale certifiée basée sur les décompositions exactes de la somme des carrés
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Auteur / Autrice : Trung-Hieu Vu
Direction : Mohab Safey El DinVictor Magron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 09/12/2022
Etablissement(s) : Sorbonne université
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6 (1997-....)
Jury : Président / Présidente : Stef Graillat
Examinateurs / Examinatrices : Lihong Zhi, Simone Naldi
Rapporteurs / Rapporteuses : Bernard Mourrain, Tiên So'n Phạm

Résumé

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L'objectif de cette thèse est de calculer des certificats exacts de non-négativité pour des polynômes. Ces certificats sont basés sur des décompositions de la somme des carrés avec des coefficients rationnels. Nous fournissons des algorithmes symboliques pour calculer les décompositions de la somme des carrés modulo l'idéal gradient des polynômes multivariés réels non négatifs sous une condition de généricité. Ces algorithmes peuvent s'attaquer à un large éventail de problèmes qui sont hors de portée des algorithmes de l'état de l'art. Nous calculons également les sommes des décompositions des carrés hermitiens pour les polynômes trigonométriques complexes univariés qui sont positifs sur le cercle unité avec des coefficients gaussiens. De plus, nous analysons la complexité binaire de ces algorithmes et déduisons les limites de taille binaire de ces certificats. Enfin, nous implémentons ces algorithmes dans le système de calcul formel Maple et l'environnement de programmation Julia et nous évaluons leurs performances sur quelques benchmarks standards.