Limites d'échelles d'arbres et de graphes inhomogènes

Scaling limits of inhomogeneous continuum random trees and graphs

• Auteur / Autrice : Arthur Blanc-Renaudie
• Direction : Nicolas Broutin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/11/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Thomas Duquesne
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Grégory Miermont, Christina Goldschmidt, Bénédicte Haas
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Curien, Asaf Nachmias

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie aléatoire

Espaces métriques

Graphes aléatoires

Arbres (théorie des graphes)

Mots clés libres

Modèle de configuration

Arbres inhomogènes

Limites d'échelles

Méthode de chainage

Recollement d'espaces métriques

Géométrie aléatoire

Configuration model

Inhomogeneous trees

Scaling limits

Chaining method

Stick breaking

Random geometry

Résumé

Dans cette thèse on étudie certains modèles d’arbres (D-arbre, P-arbre, ICRT) et de graphes (modèle de configuration, graphe multiplicatif) à suite de degrés fixés. Pour cela, on développe de nouveaux algorithmes qui construisent ces modèles en collant des branches les unes sur les autres. En analysant ces constructions, on obtient des résultats sur la géométrie de nos modèles. Pour les analyser, on utilise principalement deux méthodes. Tout d’abord, on modifie nos algorithmes pour étudier les tailles des premières branches et là où elles sont collées. Ensuite, pour prouver que nos modèles sont proches de leurs premières branches, on utilise la méthode de chainage. Plus précisément, on divise nos algorithmes en grandes étapes, et on prouve qu’entre deux grandes étapes les objets que l’on construit ne changent pas beaucoup. Dans le chapitre 2, on étudie les ICRT et notamment leur compacité et dimensions fractales. Dans le chapitre 3, on prouve des limites d’échelles des arbres à suite de degrés fixés, et on majore leur hauteur. Dans le chapitre 4, on prouve des limites d’échelles pour les multigraphes à suites de degrés fixés et surplus fixés, et on précise des connexions entre le modèle de configuration et les graphes multiplicatifs. Dans le chapitre 5, on invente une théorie d’ R-arbre plan ce qui nous permet de définir et d’étudier les ICRT plans, leurs "arbres-boucles", et des champs sur ces objets. Ce chapitre a pour but d’être appliqué à l’étude des cartes aléatoires à suite de face-degrés fixés.

In this thesis, we study several models of trees (D-trees, P-trees, ICRT) and graphs (configuration model, multiplicative graph) with fixed degree sequence. To this end, we introduce several new stick-breaking constructions for those models, which glue branches on one another. By studying those constructions, we prove several results on the geometry of our models. To study those constructions, we mainly use two methods. First, we develop several modifications of our algorithms to study precisely the size of the first branches and where they are glued. Then, to prove that the trees or graphs are close from the first branches, we use the chaining method. More precisely, we split our algorithms in main steps, and prove that between two main steps the objects we construct do not change much. In Chapter 2, we study ICRT and notably their compactness and fractal dimensions. In Chapter 3, we prove scaling limits for trees with fixed degree sequence, and we upper bound their height. In Chapter 4, we prove scaling limits for multitrees with fixed degree sequence and fixed surplus, and we explain several connections between the configuration model and multiplicative graphs. In Chapter 5, we develop a new theory of plane R-tree, to define and study plane ICRT, the ICRT’s looptrees, and some fields on those spaces. This chapter has been developed for the study of random maps with fixed face-degree sequence.