Thèse soutenue

Algorithmes exacts pour l'optmisation polynomiale

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Auteur / Autrice : Andrew Ferguson
Direction : Mohab Safey El DinJérémy Berthomieu
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 24/10/2022
Etablissement(s) : Sorbonne université
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6 (1997-....)
Jury : Président / Présidente : Bruno Escoffier
Examinateurs / Examinatrices : Alin Bostan, Hamza Fawzi Altakroury, Fatemeh Mohammadi
Rapporteurs / Rapporteuses : Cordian Riener, Victor Magron

Résumé

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Dans cette thèse, nous nous appuierons sur la méthode dite du point critique pour calculer une représentation exacte de l'infimum d'un polynôme restreint à un ensemble algébrique. Dans un premier temps, nous démontrons une amélioration de la complexité du calcul des valeurs critiques par une étude approfondie des calculs des bases de Gröbner. À l'aide de ces techniques, nous établissons une méthodologie pour étudier de nombreux problèmes connexes, y compris certains qui se posent dans l'approche populaire des sommes de carrés (SOS) de l'optimisation polynomiale. Ensuite, le cadre permettant de traiter les domaines non compacts repose sur des valeurs critiques généralisées qui donnent une généralisation du théorème de la fibration d'Ehresmann aux situations non appropriées. En suivant les travaux de Kurdyka, Orro et Simon, nous concevons des algorithmes efficaces pour calculer ces valeurs en un temps singulièrement exponentiel dans la dimension de l'espace ambiant. Enfin, nous donnons les premiers pas vers une compréhension de la structure algébrique des décompositions SOS de polynômes.