Calcul effectif de la cohomologie des faisceaux constructibles sur le site étale d'une courbe

Explicit computation of the cohomology of constructible sheaves on the étale site of a curve

• Auteur / Autrice : Christophe Levrat
• Direction : Fabrice Orgogozo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 30/09/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bruno Kahn
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : David Madore, Alain Couvreur, Hugues Randriambololona
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Xavier Caruso, Davide Lombardo

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Cohomologie

Faisceaux, Théorie des

Mots clés libres

Cohomologie

Algorithme

Étale

Courbe

Surface

Faisceau

Cohomology

Algorithm

Étale

Curve

Surface

Sheaf

Résumé

Cette thèse porte sur la représentation algorithmique des faisceaux constructibles de groupes abéliens sur le site étale d'une variété sur un corps algébriquement clos, ainsi que sur le calcul effectif de leur cohomologie lorsque leur torsion est inversible dans le corps. Nous décrivons trois représentations de ces faisceaux sur les courbes lisses ou nodales, ainsi que des algorithmes permettant d'effectuer un certain nombre d'opérations (noyaux et conoyaux de morphismes, images directes et réciproques, Hom interne et produit tensoriel) sur ces faisceaux. Nous présentons un algorithme de calcul du complexe de cohomologie d'un faisceau localement constant constructible sur une courbe lisse ou nodale X, et en déduisons une description explicite du foncteur RGamma(X,-): D^b_c(X,Z/nZ) -> D^b_c(Z/nZ), fonctoriellement en le schéma X et le complexe constructible considéré. En particulier, si X et le faisceau F proviennent par changement de base d'un sous-corps parfait, nous décrivons l'action de Galois sur le complexe (X,F) calculé. Nous donnons des bornes précises sur le nombre d'opérations effectuées par l'algorithme calculant RGamma(X,F). Nous donnons également une description explicite des cup-produits dans la cohomologie des faisceaux localement constants sur les courbes projectives lisses. Enfin, nous indiquons comment employer ces algorithmes pour calculer la cohomologie d'un faisceau constant sur une surface lisse fibrée sur la droite projective.

This thesis deals with the algorithmic representation of constructible sheaves of abelian groups on the étale site of a variety over an algebraically closed field, as well as the explicit computation of their cohomology. We describe three representations of these sheaves on curves with at worst nodal singularities, as well as algorithms performing various operations (kernels and cokernels of morphisms, pullback and pushforward, internal Hom and tensor product) on these sheaves. We present an algorithm computing the cohomology complex of a locally constant constructible sheaf on a smooth or nodal curve, which in turn allows us to give an explicit description of the functor RGamma(X,-): D^b_c(X,Z/nZ) -> D^b_c(Z/nZ). This description is functorial in the scheme X and the given complex of constructible sheaves. In particular, if X and the sheaf F are obtained by base change from a subfield, we describe the Galois action on the complex RGamma(X,F). We give precise bounds on the number of operations performed by the algorithm computing RGamma(X,F). We also give an explicit description of cup-products in the cohomology of locally constant sheaves over smooth projective curves. Finally, we show how to use these algorithms in order to compute the cohomology groups of a constant sheaf on a smooth surface fibered over the projective line.