Thèse soutenue

Limite incompressible et caractère bien posé de modèles EDP pour la croissance tumorale
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Auteur / Autrice : Noemi David
Direction : Benoît PerthameMaria Carla Tesi
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 04/07/2022
Etablissement(s) : Sorbonne université en cotutelle avec Università degli studi (Bologne, Italie)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
Jury : Président / Présidente : Anne-Laure Dalibard Roux
Examinateurs / Examinatrices : Giovanna Citti
Rapporteurs / Rapporteuses : Didier Bresch, Kim Inwon

Résumé

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Les modèles de milieux poreux, en régime compressible ou incompressible, sont utilisés dans la littérature pour décrire les propriétés mécaniques des tissus vivants et en particulier de la croissance tumorale. Il est possible de construire un lien entre ces deux différentes représentations en utilisant une loi de pression raide. Dans la limite incompressible, les modèles compressibles conduisent à des problèmes de frontières libres de type Hele-Shaw. Nos travaux visent à étudier la limite de pression raide des équations de type milieu poreux motivées par le développement tumoral. Notre première étude concerne l’analyse et la simulation numérique d’un modèle incluant l’effet des nutriments. Ensuite, un système d’équations, dont le couplage est délicat, décrit la densité cellulaire et la concentration en nutriments. Pour cette raison, la dérivation de l’équation de pression dans la limite incompressible était un problème ouvert qui nécessite la compacité forte du gradient de pression. Pour l’établir, nous utilisons deux nouvelles idées : une version L3 de la célèbre estimation d’Aronson-Bénilan, également utilisée récemment pour des problèmes connexes, et une estimation L4 sur le gradient de pression (où l’exposant 4 est optimal). Nous étudions en outre l’optimalité de cette estimation par un schéma numérique upwind aux différences finies, que nous montrons être stable et asymptotic preserving. Notre deuxième étude est centrée sur l’équation de milieux poreux avec effets convectifs. Nous étendons les techniques développées pour le cas avec nutriments, trouvant ainsi la relation de complémentarité sur la pression limite. De plus, nous fournissons une estimation du taux de convergence à la limite incompressible. Enfin, nous étudions un système multi-espèces. En particulier, en tenant compte de l’hétérogénéité phénotypique, nous incluons une variable structurée dans le problème. Par conséquent, un système de diffusion croisée et dégénérée décrit l’évolution des distributions phénotypiques. En adaptant des méthodes récemment développées pour des systèmes à deux équations, nous prouvons l’existence de solutions faibles et nous passons à la limite incompressible. En outre, nous prouvons de nouveaux résultats de régularité sur la pression totale, qui est liée à la densité totale par une loi de puissance.