Sur les holonomies des structures projectives complexes sur les surfaces

On holonomies of complex projective structures on surfaces

• Auteur / Autrice : Thomas Le Fils
• Direction : Maxime Wolff
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 12/07/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Bertrand Deroin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bram Petri, Elisha Falbel, Gabriel Calsamiglia
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bertrand Deroin, Ursula Hamenstädt

Mots clés

Mots clés contrôlés

Möbius, Transformations de

Géométrie différentielle projective

Groupes d'holonomie

Mots clés libres

Holonomie

Groupe modulaire

Variété de caractères

Structures projectives complexes

Surfaces de translations

Feuilletage isopériodique

Holonomy

Mapping Class Group

Complex projective structures

Résumé

Dans cette thèse, on étudie les holonomies des structures projectives complexes sur les surfaces. Dans une première partie, on introduit une classe de représentations d'un groupe de surface de genre deux dans le groupe des transformations de Möbius : les représentations pentagones. On montre qu'il s'agit des seules représentations qui n'admettent pas de décomposition en pantalon Schottky, i.e. de décomposition en pantalon dont la représentation restreinte à chaque pantalon est un isomorphisme sur un groupe de Schottky. Ce faisant on exhibe une erreur dans la démonstration d'un théorème de Gallo, Kapovich et Marden qui caractérise les holonomies des structures projectives complexes sur une surface comme étant les représentations dans la composante connexe de la représentation triviale de la variété de caractères correspondante qui sont non-élémentaires. En étudiant les représentations pentagones, on répare cette erreur. Dans une deuxième partie, on s'intéresse aux périodes des différentielles abéliennes. On caractérise les morphismes du premier groupe d'homologie d'une surface fermée dans les nombres complexes qui apparaissent comme les périodes absolues d'une surface de translation dans une strate donnée de l'espace des modules des différentielles abéliennes. Enfin dans une troisième partie, on caractérise les morphismes d'un groupe fondamental d'une surface fermée dans le groupe des transformations de Möbius qui se réalisent comme l'holonomie d'une structure projective complexe branchée dont la combinatoire des points de branchement est fixée. Pour ce faire nous étudions l'action du groupe modulaire de la surface sur les variétés de caractères correspondantes.

In this thesis we study the holonomies of complex projective structures on surfaces. In a first part, we define a class of representations of the fundamental group of a closed surface of genus two into the group of Möbius transformations: the pentagon representations. We show that they are exactly the representations that do not admit a Schottky decomposition: a pants decomposition such that the restriction of the representation to each pair of pants is an isomorphism onto a Schottky group. In doing so, we exhibit a gap in the proof of Gallo, Kapovich and Marden that these holonomies are the non-elementary representations in the connected component of the corresponding character variety that contains the trivial representation. By studying these representations we repair their proof. In a second part, we study periods of abelian differentials. We characterize the homomorphisms from the first homology group of a closed surface into the complex numbers that appear as the absolute periods of a translation surface in a given stratum of the moduli space of those. Finally in a third part we characterize the homomorphisms of the fundamental group of a closed surface into the group of Möbius trnasformations that appear as holonomy of a branched complex projective with fixed combinatorics of branched points. In doing so we study the action of the mapping class group of a closed surface on the corresponding character variety.