Algorithmes d'approximation et sketches pour les problèmes de clustering

Approximation Algorithms and Sketches for Clustering

• Auteur / Autrice : David Saulpic
• Direction : Christoph Dürr, Vincent Cohen-Addad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 13/09/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIP6 (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Cristina Bazgan
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Chris Schwiegelshohn, Monika Henzinger
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laurent Viennot, Robert Krauthgamer

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse de données

Algorithmes optimaux

Algorithmes d'approximation

Mots clés libres

Algorithmes

Approximation

Clustering

K-médianes

K-moyennes

Coreset

Résumé

Cette thèse présente des contributions à l'étude théorique des problèmes de clustering. Le vaste objectif de ces problèmes est de partitionner un ensemble de données en groupes, telles que les données d'un même groupe soient similaires. Les problèmes des k-médianes et des k-moyennes sont des façons habituelles de modéliser formellement ce problème, sur lesquelles nous nous concentrons dans cette thèse. Dans la première partie, nous présentons un schéma d'approximation en temps linéaire quand l'entrée est dans un espace Euclidien de dimension constante (ou, plus généralement, de doubling dimension constante), i.e., un algorithme très rapide qui calcule une approximation très précise de la solution optimale. Nous étendons les techniques utilisées pour traiter le problème du point de vue de la confidentialité différentielle. Dans la seconde partie, nous cherchons à calculer des représentation simplifiée de l'entrée, qui préservent la structure du problème: nous introduisons plusieurs techniques pour réduire le nombre de donnée, tout en s'assurant que résoudre le problème après la réduction soit presque équivalent à le résoudre sur l'ensemble initial. Nous montrons aussi que dans plusieurs cas, nos techniques sont optimales. Dans le cas particulier des espaces Euclidiens, une autre façon de simplifier l'entrée est de réduire la dimension (en préservant de la même façon la structure de l'entrée). Nous présentons le premier algorithme déterministe pour atteindre une dimension presque optimale. Finalement, nous utilisons les algorithmes et techniques introduits précédemment pour calculer très rapidement des indicateurs statistiques.

This thesis presents contributions to the theoretical study of clustering problems.The broad objective of these problems is to partition a data set into groups, such that data in the same group are similar. The k-medians and k-means problems are common ways of formally modeling this problem, which we focus on in this thesis.In the first part of the thesis, we show the first linear time approximation scheme when the input is in a constant dimensional Euclidean space (or, more generally, doubling space), i.e., a very fast algorithm that computes a very good approximation of the optimal solution. We extend the techniques used to treat the problem from the point of view of differential privacy. In the second part, we aim at designing algorithm to compute simplified representations of the input, which preserve the structure of the problem: we introduce several techniques to reduce the number of input data, while ensuring that solving the problem after the reduction is almost equivalent to solving it on the original set. We also show that in several cases, our techniques are optimal.In the particular case of Euclidean spaces, a different way to simplify the input is to reduce the dimension (preserving the structure of the input in the same way). We present the first deterministic algorithm to achieve near-optimal dimension. Finally, we show how to use those compression schemes in order to answer fast statistical queries.