Une nouvelle preuve de la stabilité non-linéaire de la famille des espaces de Kerr-de Sitter en faible rotation

A novel proof of the nonlinear stability of the slowly-rotating Kerr-de Sitter family

• Auteur / Autrice : Allen Juntao Fang
• Direction : Jérémie Szeftel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/07/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Jacques Smulevici
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Annalaura Stingo
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Dietrich Häfner, Claude Warnick

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie spectrale (mathématiques)

Trous noirs (astronomie)

Relativité générale (physique)

Mots clés libres

Relativité générale

Équation des ondes

Stabilité non-linéaire

Trou noir

Constante cosmologique

Théorie spectrale

General relativity

Wave equation

Nonlinear stability

Black hole

Cosmological constant

Spectral theory

Résumé

Cette thèse est dédiée à une nouvelle preuve de la stabilité non-linéaire de la famille des espaces de Kerr-de Sitter, qui sont des solutions trous noirs des équations d'Einstein dans le vide à constante cosmologique positive. La preuve utilise des coordonnées harmoniques afin de définir un spectre quasi-normal pour l'opérateur d'Einstein linéarisé dans l'esprit du spectre de régularité construit par Warnick sur les espaces asymptotiquement anti-de Sitter. On utilise ensuite une méthode des champs de vecteurs pour obtenir des estimations d'énergie presque Killing, de redshift et de Morawetz. Cela nous donne des estimations pour la résolvante, qui nous permettent d'obtenir à la fois une alternative de Fredholm pour l'opérateur d'Einstein linéarisé, et l'existence d'un gap spectral à hautes fréquences. La stabilité non-linéaire est alors une application directe d'un argument de bootstrap classique. La preuve donnée dans cette thèse diffère de la preuve originale obtenue par Hintz-Vasy en ce sens qu'elle ne repose pas sur une analyse micro-locale de l'extension méromorphe de la résolvante, sur un damping des contraintes ou sur une itération de Nash-Moser pour obtenir la stabilité non-linéaire. Ceci nous permet en particulier de diminuer les hypothèses de régularité sur les données initiales.

This thesis is devoted to a new proof of the nonlinear stability of the slowly-rotating Kerr-de Sitter family as a black hole family of solutions to Einstein's vacuum equations with a positive cosmological constant. The proof uses harmonic coordinates to define a quasinormal spectrum for the linearized Einstein operator in the spirit of the regularity quasinormal spectrum constructed by Warnick on asymptotically anti-de Sitter spaces. Vectorfield methods are then used to produce a series of almost-Killing, redshift, and Morawetz energy estimates. These in turn imply resolvent estimates, giving both a Fredholm alternative for the linearized Einstein operator as well as the existence of a high-frequency spectral gap. Nonlinear stability is then a direct application of a classical bootstrap method. The proof in this thesis varies from the original proof by Hintz-Vasy, which relied on microlocal analysis of the meromorphic extension of the resolvent, constraint damping, and a Nash-Moser iteration to prove nonlinear stability. The difference in the nonlinear method in particular allows for a lower initial data regularity requirement.