Théorie de Morse et algèbre supérieure des A-infini algèbres

Morse theory and higher algebra of A-infinity algebras

• Auteur / Autrice : Thibaut Mazuir
• Direction : Alexandru Oancea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 21/06/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Frédéric Bourgeois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ilia Itenberg, Bruno Vallette, Nathalie Wahl
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mohammed Abouzaid, David Chataur

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homotopie

Opérades

Topologie symplectique et de contact

Théorie de Morse

Mots clés libres

Théorie de Morse

Théorie des opérades

Théorie de l'homotopie

Infini-catégories

Polytopes

Topologie symplectique

Morse theory

Algebraic operads

Sympletic topology

Résumé

Étant donnée une fonction de Morse sur une variété fermée orientée, nous nous inspirons de travaux d'Abouzaid et de Mescher pour munir ses cochaînes de Morse d'une structure de ΩBAs-algèbre définie par un comptage d'arbres de gradient perturbé. Nous définissons également la notion de ΩBAs-morphisme entre ΩBAs-algèbres et construisons des ΩBAs-morphismes géométriques entre cochaînes de Morse par un comptage d'arbres de gradient perturbé 2-colorés. Nous utilisons des réalisations explicites des associaèdres et des multiplièdres comme polytopes et comme espaces de modules d'arbres métriques pour montrer qu'un ΩBAs-morphisme entre ΩBAs-algèbres induit naturellement un A∞-morphisme entre A∞-algèbres. Nous définissons dans un second temps la notion de n-morphismes entre A∞-algèbres et de n-morphismes entre ΩBAs-algèbres. L'ensemble des morphismes supérieurs entre deux A∞-algèbres définit un ensemble simplicial qui a la propriété d'être un complexe de Kan et dont nous calculons les groupes d'homotopie. Les n-morphismes sont de plus encodés par de nouvelles familles de polytopes que nous appelons les n-multiplièdres. Nous construisons ensuite des n-morphismes géométriques entre cochaînes de Morse et prouvons que l'ensemble simplicial des morphismes supérieurs géométriques est un complexe de Kan qui est contractile. Cela donne une formulation rigoureuse en algèbre supérieure de l'unicité à homotopie près des morphismes de continuation en théorie de Morse. Nous comparons finalement nos constructions aux structures supérieures définies en topologie symplectique par des comptages de courbes cousues pseudo-holomorphes, et décrivons nos avancées sur deux projets de recherche futurs.

Elaborating on work by Abouzaid and Mescher, we prove that the Morse cochain complex of a Morse function on a closed oriented manifold can be endowed with an ΩBAs-algebra structure by counting perturbed Morse gradient trees. We then introduce the notion of an ΩBAs-morphism and construct geometric ΩBAs-morphisms between Morse cochain complexes by counting 2-colored perturbed Morse gradient trees. We use explicit realizations of the associahedra and the multiplihedra as polytopes and as moduli spaces of metric trees to show that an ΩBAs-morphism between ΩBAs-algebras naturally induces an A∞-morphism between A∞-algebras. We then introduce the notion of a n-morphism between A∞-algebras and of a n-morphism between ΩBAs-algebras. The set of higher morphisms between two A∞-algebras defines in fact a simplicial set which is a Kan complex and we explicitly compute its simplicial homotopy groups. The n-morphisms are moreover encoded by new families of polytopes that we call the n-multiplihedra. We then construct geometric n-morphisms between Morse cochain complexes and show that the simplicial set consisting of geometric higher morphisms is a Kan complex which is contractible. This gives a higher categorical meaning to the fact that continuation morphisms in Morse theory are well-defined up to homotopy at chain level. We finally compare our constructions to the higher structures defined by counts of pseudo-holomorphic quilts in symplectic topology, and describe our progress on two future research projects.