Computation of the L∞-norm of finite-dimensional linear systems
Calcul de la norme L∞ des systèmes linéaires de dimension finie
Résumé
In this dissertation, we study the computation of the L∞-norm of finite-dimensional linear time-invariant systems. This problem is first reduced to the computation of the maximal y-projection of the real solutions (x, y) of a bivariate polynomial equations system Σ = {P = 0, ∂P/∂x = 0}, where P ∈ Z[x, y]. Then, we use standard computer algebra methods to solve this problem. In particular, we alternatively study a method based on rational univariate representations, a method based on root separation, and finally a method first based on the sign variation of the leading coefficients of a signed subresultant sequence (Sturm-Habicht) and on the identification of an isolating interval for the maximal y-projection of the real solutions of Σ. We then compute the worst-case bit complexity of each method and compare their theoretical behavior. We also implement each method in Maple and compare their practical behavior (average complexity). A generalization of the above algorithms is finally proposed to the case where the polynomial P also depends on a set of parameters α = [α1, . . . , αd] ∈ Rd. To do that, we solve the problem using the notion of the Cylindrical Algebraic Decomposition, well-known in algebraic geometry.
Dans cette thèse, nous étudions le problème du calcul de la norme L∞ des systèmes de dimension finie, linéaires et invariants dans le temps. Ce problème est ramené au calcul de la y-projection maximale des solutions réelles (x, y) d’un système d’équations polynomiales bivariées Σ = {P = 0, ∂P/∂x = 0}, où P ∈ Z[x, y]. Nous utilisons alors des méthodes classiques de calcul formel pour résoudre ce problème. En particulier, nous étudions alternativement une méthode basée sur des représentations univariées rationnelles, une méthode basée sur la séparation des racines, et enfin une méthode basée sur la variation de signes des coefficients dominants d’une suite signée de sous-résultants (suite de Sturm-Habicht) et l’identification d’un intervalle isolant pour la y-projection maximale des solutions réelles de Σ. Nous calculons ensuite la complexité binaire dans le pire des cas de chacune des méthodes proposées et nous comparons leur comportement théorique. Enfin, nous implémentons chacune des méthodes sous Maple et nous comparons leur comportement pratique (complexité moyenne). Une généralisation des algorithmes précédents au cas de polynômes P dépendants aussi de paramètres α = [α1, . . . , αd] ∈ Rd est finalement proposée. Pour cela, nous résolvons le problème en utilisant la notion de Décomposition Cylindrique Algébrique, classique en géométrie algébrique.
Origine : Version validée par le jury (STAR)