Processus de croissance-fragmentation multitypes et excursions planaires

Multitype growth-fragmentation processes and planar excursions

• Auteur / Autrice : William Da Silva
• Direction : Elie Aïdekon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Probabilités
• Date : Soutenance le 29/03/2022
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Curien
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thomas Duquesne, Zhan Shi, Bénédicte Haas
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Andreas E. Kyprianou, Grégory Miermont

Mots clés

Mots clés contrôlés

Arbres (théorie des graphes)

Cartes aléatoires

Gravité quantique

Physique mathématique

Mots clés libres

Processus de croissance-fragmentation

Processus autosimilaires multitypes

Excursions planaires

Cartes planaires aléatoires

Gravité quantique de Liouville

Accouplement d'arbres

Growth-fragmentation processes

Planar excursions

Liouville quantum gravity

Résumé

Ce travail est consacré à l’étude des processus de croissance-fragmentation, en lien avec les excursions planaires et la gravité quantique de Liouville. Dans un article fondateur pour notre travail, Bertoin, Budd, Curien et Kortchemski (BBCK) étudient la structure branchante de ces systèmes de particules, ainsi qu’une famille particulière obtenue en limite d’échelle dans un processus d’épluchage markovien de grandes cartes aléatoires. Nous construisons d’abord, sur une excursion dans le demi-plan dont la partie réelle est un processus stable, une version signée du processus de croissance-fragmentation découvert par BBCK. Nous établissons ensuite la décomposition spinale des processus de croissance-fragmentation signés, et généralisons cette approche aux processus avec un nombre fini de types. Nous nous intéressons aussi à une extension au cadre vectoriel isotropique, où nous verrons qu’une certaine famille remarquable apparaît dans des excursions au-dessus du demi-espace. Enfin, la dernière partie de cette thèse présente quelques avancées d’un travail portant sur l’exploration d’un disque quantique avec une certaine courbe SLE remplissante. Ces considérations s’interprètent au niveau des excursions planaires à travers le mating-of-trees. Nous caractérisons le processus de croissance-fragmentation pour un paramètre particulier de la mesure de Liouville, appelé gravité pure.

This work is devoted to the study of growth-fragmentation processes, in connection with planar excursions and Liouville quantum gravity. In a seminal paper, Bertoin, Budd, Curien and Kortchemski (BBCK) study the branching structure of these particle systems, as well as a particular family obtained in the scale limit in a Markov peeling process of large random maps. We first construct, on a half-planar excursion whose real part is a stable process, a signed version of the growth-fragmentation processes revealed by BBCK. We then establish the spinal decomposition of signed growth-fragmentation processes, and generalise this approach to processes with a finite number of types. We also focus on an extension to the spatial isotropic setting, where we see that a remarkable family of such processes appears in excursions away from the half-space. Finally, the last part of this thesis presents some advances towards understanding a certain space-filling SLE exploration of a quantum disc. These considerations are interpreted at the level of planar excursions through the mating-of-trees. We characterise the growth-fragmentation process for a special parameter of the Liouville measure, called pure gravity.