Cellular automata for the observation of complex systems
Automates cellulaires pour l'observation de systèmes complexes
Résumé
In this thesis, we propose to study the observability of cellular automata (CA), i.e. how we can efficiently reconstruct the state of a CA from a limited number of measurements. To do so, we draw our inspiration from the notion of observability in classical control theory. This notion guarantees that the state of a system can be perfectly reconstructed from the measurements.In order to apply results in classical control theory to CA, we adopt the CA definition of El Yacoubi (2008) and use it to define the notions of measurements and sensor networks for CA. Utilising these definitions we then develop the concepts of observability, reconstructibility, and adaptability in the context of cellular automata.Subsequently, we define analytical criteria to verify these three notions for specific families of CA. We start with additive and affine CA for which we transpose the rank condition developed by Kalman and adapt it to provide similar conditions for reconstructibility and adaptability. Next, we focus on non-linear CA. We optimise observability and reconstructibility criteria for Boolean networks. We also propose a method for decentralising the observability analysis which may be applied to check observability and reconstructibility for very large CA.We propose then another observation method with a totally different approach based on synchronisation. It avoids the computational complexity issues encountered using previous methods. In particular, in the case of small initial error, we propose an improved synchronisation method that drastically increases observation performance.We conclude the thesis by illustrating the developed methods on three examples. We apply reconstructibility and synchronisation methods to a forest fire propagation model. We compare the observation performance of both methods. Then, we use reconstructibility and decentralised reconstructibility on a road traffic model. Finally, we use the observability of additive CA to reconstruct a sequence of numbers produced by a CA-based random number generator.
Dans cette thèse, nous nous proposons d’étudier l’observation des automates cellulaires (AC), c’est-à-dire comment nous pouvons efficacement reconstruire l’état d'un AC à partir d’un nombre limité de mesures. Pour cela, nous puisons notre inspiration dans la théorie du contrôle classique, en particulier dans la notion d’observabilité. Celle-ci garantit que l’état du système peut être reconstruit parfaitement à partir des mesures. Afin d'appliquer les résultats de la théorie classique du contrôle aux AC, nous adoptons la définition des AC présentée par El Yacoubi (2008) et l'utilisons pour définir les notions de mesures et de réseaux de capteurs. En utilisant ces définitions, nous développons ensuite les concepts d'observabilité, de reconstructibilité et d'adaptabilité dans le contexte des automates cellulaires.Ensuite, nous définissons des critères analytiques pour vérifier ces trois notions pour des familles spécifiques d’AC. Dans un premier temps, pour les AC additifs et affines pour lesquels transposons la condition de rang développé par Kalman. Nous adaptons cette condition pour fournir des critères similaires pour la reconstructibilité et l’adaptabilité. Ensuite, nous nous intéressons spécifiquement aux AC non linéaires. Nous optimisons un critère d’observabilité et de reconstructibilité utilisé pour les réseaux booléens et nous proposons aussi une méthode de décentralisation de l’observabilité, celle-ci permettant de vérifier l’observabilité pour des AC de très grande taille. Nous présentons une autre méthode d’observation qui ne se base pas sur la théorie du contrôle. Celle-ci permet d’éviter les problèmes de complexité calculatoire causés par les méthodes précédentes. Nous nous intéressons en particulier au cas où l’erreur initiale est faible, ce qui permet, dans certains cas, d’augmenter drastiquement les performances d’observation. Nous terminons en appliquant les outils développés dans cette thèse sur des exemples concrets. Nous appliquons la reconstructibilité et la synchronisation sur un modèle de propagation d'incendie de forêt. Nous en profitons pour comparer les performances d’observations de ces deux méthodes. Ensuite, nous utilisons la reconstructibilité ainsi que la reconstructibilité décentralisée sur un modèle de trafics routiers. Puis, nous utilisons l’observabilité des AC additifs pour reconstruire une séquence de nombres produite par un générateur de nombres aléatoires basé sur un AC.
Origine : Version validée par le jury (STAR)