Méthodes Trefftz-DG et algorithme Tent-Pitcher pour la résolution des équations d’ondes dans le domaine espace-temps

Trefftz-DG Methods and Tent-Pitcher Algorithm for Spacetime Integration of Wave Problems

• Auteur / Autrice : Vinduja Vasanthan
• Direction : Hélène Barucq, Julien Diaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/12/2022
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau - Inria Bordeaux - Sud-Ouest
• Jury : Président / Présidente : Philippe Poncet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hélène Barucq, Julien Diaz, Philippe Poncet, Philippe Helluy, Sébastien Pernet, Stefano Frambati, Alexandre Impériale
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Philippe Helluy, Sébastien Pernet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes sonores

Mots clés libres

Ondes acoustiques

Espace-Temps

Tent-Pitcher

Trefftz

Pml

Mpi

Acoustic waves

Spacetime

Tent-Pitcher

Trefftz

Pml

Mpi

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions l'optimisation des méthodes Trefftz-Galerkine Discontinues avec l'algorithme Tent-Pitcher, ainsi que l'élaboration de conditions de bords adaptées. Nous considérons ces méthodes dans le cadre d'une équation des ondes acoustiques de premier-ordre en domaine temporel. L'idée des méthodes de Trefftz est d'utiliser des solutions locales de l'Équation aux Dérivées Partielles considérée comme fonctions de base. Une telle formulation présente l'avantage de n'être posée que sur le squelette du maillage. De plus, certaines caractéristiques des solutions analytiques sont directement injectées dans la solution discrète au travers des fonctions de base, ce qui nous incite à penser que la solution numérique obtenue sera plus précise. Cependant, le schéma qui résulte de cette méthode est implicite en espace-temps, ce qui entraîne un coût de calcul élevé. C'est pourquoi nous nous intéressons à l'algorithme Tent-Pitcher, qui est un algorithme de construction de maillages espace-temps introduit pour les problèmes hyperboliques et consiste en la construction d'un maillage causal permettant de résoudre le problème élément par élément. Le présent travail se découpe en deux parties. Dans la première partie, nous présentons un solveur Trefftz-DG avec Tent-Pitching déjà existant appliqué à l'équation des ondes acoustiques en espace-temps et son extension à des maillages triangulaires non-structurés. L'efficacité de la méthode est validée par comparaison des solutions numériques avec des solution analytiques. Dans l'optique d'optimiser la méthode en termes de temps de calcul, nous implémentons les différentes méthodes dans un environnement de Calcul Haute Performance. La performance des codes est testée et les solutions numériques sont comparées avec des solutions obtenues par une méthode différente. Dans la seconde partie, nous présentons des conditions aux bords de type absorbant que sont les Couches Absorbantes Parfaitement Adaptées pour l'équation des ondes acoustiques, ce qui implique la construction de solutions analytiques pour ce nouveau système d'équations, car le principe des méthodes de Trefftz repose sur l'utilisation de solutions locales comme fonctions de base. Pour ce faire, nous élaborons des fonctions de Green pour les équations d'ondes acoustiques en domaine temporel grâce à la méthode Cagniard-De Hoop. Enfin, nous implémentons ces conditions de bords dans le solveur Trefftz-Galerkine Discontinu avec Tent-Pitching sur des maillages structurés et présentons les résultats obtenus.

In this thesis, we explore the optimization of Trefftz-Discontinuous Galerkin methods with the Tent-Pitcher algorithm and the elaboration of boundary conditions adapted to them. We consider these methods in the framework of the first-order acoustic wave equation in time-domain. The idea of Trefftz methods is to use local solutions of the considered Partial Differential Equations as basis functions. Such a formulation has the advantage of being posed on the skeleton of the mesh only and characteristics of the analytical solutions are injected into the discrete solution through the basis functions, which leads us to expect the obtained numerical solution to be more precise. However, the resulting scheme is implicit in time-domain, which leads to an increased computational cost. This is the reason why we investigate Tent-Pitcher algorithms. The Tent-Pitcher algorithm is a space-time meshing algorithm introduced for hyperbolic problems, that consists in constructing a causal mesh which allows to solve the problem element-by-element. This work is divided into two main parts. In the first part, we present an already existing Trefftz-Discontinuous Galerkin solver on structured Tent-Pitching meshes for the acoustic wave equation and extend it to unstructured triangular meshes. The efficiency of the method is validated by comparing the obtained numerical solutions to analytical solutions. Having in mind the optimization of the method in terms of computational time, we implement the different methods in a High Performance Computing environment. We test their performance and present comparisons with the solutions from another numerical method. In the second part, we present an absorbing type of boundary conditions which is the Perfectly Matched Layer. We derive a formulation for the Trefftz-Discontinuous Galerkin methods with Perfectly Matched Layers for the acoustic wave equation, which involves the computation of analytical solutions for this new system of equations because the principle of the Trefftz methods relies on the use of local solutions as basis functions. This is done by computing the Green's functions for the time-domain acoustic wave equation using the Cagniard-De Hoop method. Finally, we implement these boundary conditions into the Trefftz-Discontinuous Galerkin solver with Tent-Pitching on structured meshes and present the obtained results.