Formalisme de plongement d'ordre élevé, théorème de Noether sur time-scales et l'élasticité non locale d’Eringen

Higher-order Embedding Formalism, Noether’s Theorem on Time Scales and Eringen’s Nonlocal Elastica

• Auteur / Autrice : Khader Hariz Belgacem
• Direction : Jacky Cresson, Emmanuelle Rouhaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 08/07/2022
• Etablissement(s) : Pau en cotutelle avec Ecole normale supérieure de Kouba (Alger)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau
• Jury : Président / Présidente : Aziz Hamdouni
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Noël Challamel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Delfim Torres, Martin Bohner

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles

Mots clés libres

Formalisme de plongement

Principe variationnel

Equations d'Euler-Lagrange

Élasticité nonlocale d'Eringen

Calcule time-Scales

Théorème de Noether

Embedding formalism

Variational principle

Euler-Lagrange equations

Noether's theorem

Eringen's nonlocal elastica

Time-Scales calculus

Résumé

En mathématiques, le calcul des variations est un ensemble de méthodes permettant la détermination de solutions à des problèmes d'optimisation des quantités traduites en termes de fonctionnelle. De nombreuses applications existent, notamment dans la recherche de courbes ou de surfaces minimales. Les systèmes dynamiques considérés sont de natures diverses (équations différentielles, intégrales ou stochastiques) et modélisent des problèmes d'origines multiples : aérospatiale, automobile, biologie, économie, médecine, etc. Le théorème de Noether présente un fort intérêt puisqu'il propose une loi de conservation explicite (traduisant souvent une quantité physique comme l'énergie totale ou le moment angulaire en mécanique classique) qui permet de réduire ou d'intégrer l'équation différentielle associée par quadrature. L'objectif de ma thèse contient de nombreux thèmes, dans le premier but nous allons : *) donner le théorème de Noether discret dans le cadre ”time scale” (Le formalisme lagrangien et hamiltonien). Le passage de la nature discrète à la nature continue de la structure la morphologie est d'un intérêt primordial en physique pour comprendre comment la microstructure peut influencer les propriétés macroscopiques du matériau à plus grande échelle. Ce passage peut être modélisé par un système discret appelé 'Hencky's chain' et l'équation du mouvement est donnée par des équations aux différences non linéaires et cette équation ne possède pas de Lagrangien. Le deuxième but nous allons : *) donner les structures lagrangienne, hamiltonienne via le facteur intégrant et trouver la solution analytique de l'équation non locale au sens d'Eringen (nonlocalité différentielle d'Eringen, 1983). Le troisième but nous allons : *) étudier l'existence des formulations variationnelles via le principe de Brezis Ekeland-Nayroles (Gery de Saxce) - application sur la formulation 4D développée par E. Rouhaud pour l'étude des déformations des matériaux *) développer des schémas numériques qui respectent certaines particularités. En particulier, un schéma permettent de mettre en œuvre la théorie 4D développée par E. Rouhaud. *) applications numériques et théoriques sur le problème des déformations des matériaux.

The aim of this thesis is to deal with the connection between continuous and discrete versions of a given object. This connection can be studied in two different directions: one going from a continuous setting to a discrete analogue, and in a symmetric way, from a discrete setting to a continuous one. The first procedure is typically used in numerical analysis in order to construct numerical integrators and the second one is typical of continuous modeling for the study of micro-structured materials.In this manuscript, we focus our attention on three distinct problems. In the first part, we propose a general framework precising different ways to derive a discrete version of a differential equation called discrete embedding formalism.More precisely, we exhibit three main discrete associate: the differential, integral or variational structure in both classical and high-order approximations.The second part focuses on the preservation of symmetries for discrete versions of Lagrangian and Hamiltonian systems, i.e., the discrete analogue of Noether's theorem.Finally, the third part applies these results in mechanics, i.e., the problem studied by N. Challamel, Kocsis and Wang called Eringen's nonlocal elastica equation which can beobtained by the continualization method. Precisely, we construct a discrete version of Eringen's nonlocal elastica then we study the difference with Challamel's proposal.