Suites spectrales rassemblées, Bocksteins, et applications à THH

Gathered spectral sequences, Bocksteins, and applications to THH

• Auteur / Autrice : Maxime Chaminadour
• Direction : Christian Ausoni
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 27/09/2022
• Etablissement(s) : Paris 13
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Muriel Livernet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Muriel Livernet, Marco Robalo, Grégory Ginot, Yonatan Harpaz
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Geoffrey Powell

Mots clés

Mots clés contrôlés

K-théorie

Homotopie

Homologie

Mots clés libres

Topologie algébrique

Homotopie stable

K-Théorie algébrique

Algebraic topology

Stable homotopy

Algebraic K-Theory

Résumé

Soit ku le spectre de la K-théorie complexe connective, localisée en un premier p, et soit ℓ la summand d’Adams connective. La suite spectrale de Bockstein associée à la multiplication par v1 ∈ ℓ∗, et qui calcule les groupes d’homologie de Hochschild topologique THH∗(ℓ), est connue. Le but de cette thèse est, dans un premier temps, d’étendre ces résultats à la suite spectrale de Bockstein associée à la multiplication par u ∈ ku∗, qui calcule THH∗(ku) ; dans un second temps, d’étudier la composée Σ∞+ K(Z, 3) → Σ∞+ BGL1(ku) → K(ku) → THH(ku) capturant une partie des unités de la K-théorie algébrique de ku via la trace de Bökstedt dans THH. Nous développons d’abord des outils généraux, qui relient une suite spectrale à ce que nous appellerons des suites spectrales rassemblées et tronquées. Nous étudions ensuite comment les extensions dans une suite spectrale de Bockstein sont parfois déterminées par la suite spectrale elle-même. Ce résultats généraux nous permettent de calculer la suite spectrale de Bockstein de THH∗(ku) à partir de celle de THH∗(ℓ). Nous ferons ensuite un deuxième calcul de THH∗(ku) en utilisant THH logarithmique. Enfin nous donnons une présentation de ku∗K(Z, 3)et nous calculons la partie sans torsion de l’application ku∗K(Z, 3) → THH∗(ku).

Let ku be the connective complex K-theory spectrum, localized at a prime p, and let ℓ be its connective Adams summand. The Bockstein spectral sequence, related to the multiplication by v1 ∈ ℓ∗, that compute the topological Hochschild homology groups THH∗(ℓ), is known. The purpose of this thesis is, first, to extend these results to the Bockstein spectral sequence, related to the multiplication byu ∈ ku∗, that compute THH∗(ku); and second, to study the composition Σ∞+ K(Z, 3) → Σ∞+ BGL1(ku) → K(ku) → THH(ku) that captures part of the units in the algebraic K-theory of ku via the Bökstedt trace map into THH. We first develop general tools, that relate a spectral sequence to what we call gathered and truncated spectral sequences. We then study how the extensions in a Bockstein spectral sequence can sometimes be recovered from the spectral sequence itself. We use these general results to compute the Bockstein spectral sequence for THH∗(ku) from the one for THH∗(ℓ). We give a second computation of THH∗(ku) using logarithmic THH. We then give a presentation of ku∗K(Z, 3)and compute the non-torsion part of the map ku∗K(Z, 3) → THH∗(ku).