Estimations d’erreur a posteriori pour le couplage des équations de Navier-Stokes avec l’équation de convection–diffusion–réaction

A posteriori error estimates for the time dependent Navier-Stokes coupled with the convection-diffusion-reaction equation

• Auteur / Autrice : Joanna Faddoul
• Direction : Pascal Omnes, Toni Sayah, Jad Dakroub
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2022
• Etablissement(s) : Paris 13 en cotutelle avec Université Saint-Joseph (Beyrouth). Faculté des Sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Analyse, géométrie et applications (LAGA) (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis)
• Jury : Président / Présidente : Fayssal Benkhaldoun
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jad Dakroub, Fayssal Benkhaldoun, Ludovic Chamoin, Zoubida Maslouhi, Robert Luce, Gihane Mansour
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ludovic Chamoin, Zoubida Maslouhi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Éléments finis, Méthode des

Euler, Équations d'

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Estimation d’erreur a posteriori

Équations de Navier-Stokes

Méthode adaptative

A posteriori error estimation

Navier-Stokes equations

Adaptative methods

Résumé

La solution exacte des équations aux dérivées partielles est en général difficile à calculer. Pour cela, des méthodes numériques ont été développées, qui nous permettent de trouver des solutions approchées. Dans cette thèse, nous nous intéressons aux équations de Navier-Stokes incompressibles instationnaires qui décrivent le comportement d'un fluide. Nous choisissons un cas où la force appliquée au fluide ainsi que la viscosité du fluide dépendent d'une autre variable, par exemple sa température ou la concentration d'une certaine matière dans ce fluide. Alors nous avons besoin de coupler les équations de Navier-Stokes avec l'équation de convection-diffusion-réaction qui décrit le transport de la variable supplémentaire à la vitesse du fluide. Notre étude s'est développée à trois niveaux. Le problème est tout d'abord discrétisé en utilisant le schéma d'Euler pour la discrétisation en temps et les éléments finis '' P1-bulle/ P1/ P1'' pour la discrétisation en espace. Dans un premier temps, nous étudions l'estimation d'erreur a posteriori de notre problème de couplage en supposant que le coefficient de diffusion dans l'équation de transport est une constante. Cette estimation fait apparaître deux types d'indicateurs d'erreur, le premier lié à la discrétisation en temps et le second lié à discrétisation en espace. Dans un second temps, nous reprenons l'étude du problème couplé en supposant cette fois que le coefficient de diffusion dépend aussi de la variable transportée. Nous commençons par montrer l'existence et l'unicité conditionnelle de la solution de ce nouveau problème. Puis nous établissons l'estimation d'erreur a posteriori de ce dernier en suivant des étapes identiques à celles effectuées lors de notre première étude. Finalement, des simulations numériques sont élaborées à l'aide du logiciel FreeFem++ pour valider les résultats théoriques. Les simulations adaptatives en temps et en espace démontrent l'utilité de la démarche.

The exact solution of partial differential equations is generally difficult to calculate.For this reason, numerical methods have been developed, which allow to find approximate solutions. In this thesis, we are interested in the unsteady incompressible Navier-Stokes equations which describe the behaviour of a fluid. We choose a case where the force applied to the fluid as well as its viscosity depend on another variable, for example its temperature or the concentration of a certain material in the fluid. So we need to couple the Navier-Stokes equations with the convection-diffusion-reaction equation which describesthe transport of the additional variable with the fluid velocity. Our study was developed along three lines. The problem is discretized using the Euler scheme for the time discretization and the ''P1-bubble/P1/P1'' finite elements for the space discretization. In a first step, we study the error estimate of the coupled problem assuming that the diffusion coefficient in the transport equation is a constant. This estimate involves two types of error indicators, the first related to the discretization in time and the second to the discretization in space. In a second step, we take up the study of the coupled problem, assuming this time that the diffusion coefficient also depends on the transported variable. We start by showing the existence and the conditional uniqueness of the solution of this new problem. Then we establish the error estimate of the latter by following the same steps as those carried out in our first study. Finally, numerical simulations are elaborated using FreeFem++ software to validate the theoretical results. The time and space adaptive simulations demonstrate the usefulness of the approach.